數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是統(tǒng)計(jì)學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，從數(shù)學(xué)的角度去研究統(tǒng)計(jì)學(xué)，為各種應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)提供理論支持。它研究怎樣有效地收集、整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以對(duì)所考察的問(wèn)題作出推斷或預(yù)測(cè)，直至為采取一定的決策和行動(dòng)提供依據(jù)和建議的數(shù)學(xué)分支。

　　數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是伴隨著概率論的發(fā)展而發(fā)展起來(lái)的。19世紀(jì)中葉以前已出現(xiàn)了若干重要的工作，如C.F.高斯和A.M.勒讓德關(guān)于觀測(cè)數(shù)據(jù)誤差分析和最小二乘法的研究。到19世紀(jì)末期，經(jīng)過(guò)包括K.皮爾森在內(nèi)的一些學(xué)者的努力，這門學(xué)科已開(kāi)始形成。但數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)發(fā)展成一門成熟的學(xué)科，則是20世紀(jì)上半葉的事，它在很大程度上要?dú)w功于K.皮爾森、R.A.費(fèi)希爾等學(xué)者的工作。特別是費(fèi)希爾的貢獻(xiàn)，對(duì)這門學(xué)科的建立起了決定性的作用。1946年H.克拉默發(fā)表的《統(tǒng)計(jì)學(xué)數(shù)學(xué)方法》是第一部嚴(yán)謹(jǐn)且比較系統(tǒng)的數(shù)理統(tǒng)計(jì)著作，可以把它作為數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)進(jìn)入成熟階段的標(biāo)志。

　　數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展大致可分3個(gè)時(shí)期。

　　第一時(shí)期：20 世紀(jì)以前。這個(gè)時(shí)期又可分成兩段，大致上可以把高斯和勒讓德關(guān)于最小二乘法用于觀測(cè)數(shù)據(jù)的誤差分析的工作作為分界線，前段屬萌芽時(shí)期，基本上沒(méi)有超出描述性統(tǒng)計(jì)量的范圍。后一階段可算作是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的幼年階段。首先，強(qiáng)調(diào)了推斷的地位，而擺脫了單純描述的性質(zhì)。由于高斯等的工作揭示了正態(tài)分布的重要性，學(xué)者們普遍認(rèn)為，在實(shí)際問(wèn)題中遇見(jiàn)的幾乎所有的連續(xù)變量，都可以滿意地用正態(tài)分布來(lái)刻畫。這種觀點(diǎn)使關(guān)于正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)得到了深入的發(fā)展，但延緩了非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的發(fā)展。19世紀(jì)末，K.皮爾森給出了以他的名字命名的分布，并給出了估計(jì)參數(shù)的一種方法——矩法估計(jì)。德國(guó)的F.赫爾梅特發(fā)現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)上十分重要的x2 分布。

　　第二時(shí)期：20世紀(jì)初到第二次世界大戰(zhàn)結(jié)束。這是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)蓬勃發(fā)展達(dá)到成熟的時(shí)期。許多重要的基本觀點(diǎn)和方法，以及數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要分支學(xué)科，都是在這個(gè)時(shí)期建立和發(fā)展起來(lái)的。這個(gè)時(shí)期的成就，包含了至今仍在廣泛使用的大多數(shù)統(tǒng)計(jì)方法。在其發(fā)展中，以英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家、生物學(xué)家費(fèi)希爾為代表的英國(guó)學(xué)派起了主導(dǎo)作用。

　　第三時(shí)期：戰(zhàn)后時(shí)期。這一時(shí)期中，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)在應(yīng)用和理論兩方面繼續(xù)獲得很大的進(jìn)展。

　　數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)內(nèi)容龐雜，分支學(xué)科很多，難于作出一個(gè)周密而無(wú)懈可擊的分類。大體上可以劃分為如下幾類：

　　第一類分支學(xué)科是抽樣調(diào)查和試驗(yàn)設(shè)計(jì)。它們主要討論在觀測(cè)和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的收集中有關(guān)的理論和方法問(wèn)題，但并非與統(tǒng)計(jì)推斷無(wú)關(guān)。

　　第二類分支學(xué)科為數(shù)甚多，其任務(wù)都是討論統(tǒng)計(jì)推斷的原理和方法。各分支的形成是基于：

　?、偬囟ǖ慕y(tǒng)計(jì)推斷形式，如參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)。

　　②特定的統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)，如貝葉斯統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)決策理論。

　?、厶囟ǖ睦碚撃Ｐ突驑颖窘Y(jié)構(gòu)，如非參數(shù)統(tǒng)計(jì)、多元統(tǒng)計(jì)分析、回歸分析、相關(guān)分析、序貫分析，時(shí)間序列分析和隨機(jī)過(guò)程統(tǒng)計(jì)。

　　第三類是一些針對(duì)特殊的應(yīng)用問(wèn)題而發(fā)展起來(lái)的分支學(xué)科，如產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)、可靠性統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)質(zhì)量管理等。

　　用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法去解決一個(gè)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般有如下幾個(gè)步驟 ：建立數(shù)學(xué)模型 ，收集整理數(shù)據(jù)，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷、預(yù)測(cè)和決策。這些環(huán)節(jié)不能截然分開(kāi)，也不一定按上述次序，有時(shí)是互相交錯(cuò)的。

　?、倌Ｐ偷倪x擇和建立。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中，模型是指關(guān)于所研究總體的某種假定，一般是給總體分布規(guī)定一定的類型。建立模型要依據(jù)概率的知識(shí)、所研究問(wèn)題的專業(yè)知識(shí)、以往的經(jīng)驗(yàn)以及從總體中抽取的樣本（數(shù)據(jù)）。

　?、跀?shù)據(jù)的收集。有全面觀測(cè)、抽樣觀測(cè)和安排特定的實(shí)驗(yàn)3種方式。全面觀測(cè)又稱普查，即對(duì)總體中每個(gè)個(gè)體都加以觀測(cè)，測(cè)定所需要的指標(biāo)。抽樣觀測(cè)又稱抽查，是指從總體中抽取一部分，測(cè)定其有關(guān)的指標(biāo)值。這方面的研究?jī)?nèi)容構(gòu)成數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一個(gè)分支學(xué)科。叫抽樣調(diào)查。

　?、郯才盘囟▽?shí)驗(yàn)以收集數(shù)據(jù)，這些特定的實(shí)驗(yàn)要有代表性，并使所得數(shù)據(jù)便于進(jìn)行分析。這里面所包含的數(shù)學(xué)問(wèn)題，構(gòu)成數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的又一分支學(xué)科，即實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的內(nèi)容。

　　④數(shù)據(jù)整理。目的是把包含在數(shù)據(jù)中的有用信息提取出來(lái) 。 一種形式是制定適當(dāng)?shù)膱D表，如散點(diǎn)圖，以反映隱含在數(shù)據(jù)中的粗略的規(guī)律性或一般趨勢(shì)。另一種形式是計(jì)算若干數(shù)字特征，以刻畫樣本某些方面的性質(zhì)，如樣本均值、樣本方差等簡(jiǎn)單描述性統(tǒng)計(jì)量。

　?、萁y(tǒng)計(jì)推斷。指根據(jù)總體模型以及由總體中抽出的樣本，作出有關(guān)總體分布的某種論斷 。數(shù)據(jù)的收集和整理是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的必要準(zhǔn)備，統(tǒng)計(jì)推斷是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要任務(wù)。

　　⑥統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)。統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)的對(duì)象，是隨機(jī)變量在未來(lái)某個(gè)時(shí)刻所取的值，或設(shè)想在某種條件下對(duì)該變量進(jìn)行觀測(cè)時(shí)將取的值。例如，預(yù)測(cè)一種產(chǎn)品在未來(lái)3年內(nèi)的市場(chǎng)銷售量，某個(gè)10歲男孩在3年后的身高，體重等等。

　　⑦統(tǒng)計(jì)決策。依據(jù)所做的統(tǒng)計(jì)推斷或預(yù)測(cè)，并考慮到行動(dòng)的后果（以經(jīng)濟(jì)損失的形式表示）而制定的一種行動(dòng)方案。目的是使損失盡可能小，或反過(guò)來(lái)說(shuō)，使收益盡可能大。例如，一個(gè)商店要決定今年內(nèi)某種產(chǎn)品的進(jìn)貨數(shù)量，商店的統(tǒng)計(jì)學(xué)家根據(jù)抽樣調(diào)查，預(yù)測(cè)該產(chǎn)品本店今年銷售量為1000件。假定每積壓一件產(chǎn)品損失20元，而少銷售一件產(chǎn)品則損失10元，要據(jù)此作出關(guān)于進(jìn)貨數(shù)量的決策。

　　數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)以及社會(huì)經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用。

　?、僭谵r(nóng)業(yè)中，對(duì)田間試驗(yàn)進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)和統(tǒng)計(jì)分析。

　?、趯?shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)法、回歸設(shè)計(jì)和回歸分析、方差分析、多元分析等統(tǒng)計(jì)方法，在工業(yè)生產(chǎn)的試制新產(chǎn)品和改進(jìn)老產(chǎn)品、改革工藝流程、使用代用原材料和尋求適當(dāng)?shù)呐浞降葐?wèn)題中起著廣泛的作用，統(tǒng)計(jì)質(zhì)量管理在控制工業(yè)產(chǎn)品的質(zhì)量中起著十分重要的作用。

　?、坩t(yī)學(xué)是較早使用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的領(lǐng)域之一 。在防治一種疾病時(shí)，需要找出導(dǎo)致這種疾病的種種因素。統(tǒng)計(jì)方法在發(fā)現(xiàn)和驗(yàn)證這些因素上，是一個(gè)重要工具。另一方面的應(yīng)用是，用統(tǒng)計(jì)方法確定一種藥物對(duì)治療某種疾病是否有用，用處多大，以及比較幾種藥物或治療方法的效力。

　?、茉谧匀豢茖W(xué)和技術(shù)科學(xué)中，如統(tǒng)計(jì)方法用于地震、氣象和水文方面的預(yù)報(bào)、地質(zhì)資源的評(píng)介等。

　?、菰谏鐣?huì)、經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域方面，如人口調(diào)查和預(yù)測(cè)，心理學(xué)中能力方面的分析等。