對(duì)于隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，矩是其最廣泛，最常用的數(shù)字特征，母體ξ的各階矩一般與ξ的分布中所含的未知參數(shù)有關(guān)，有的甚至就等于未知參數(shù)。由辛欽大數(shù)定律知，簡(jiǎn)單隨機(jī)子樣的子樣原點(diǎn)矩依概率收斂到相應(yīng)的母體原點(diǎn)矩Eξ^r,r = 1,2,Λ。這就啟發(fā)我們想到用子樣矩替換母體矩（今后稱(chēng)之為替換原則），進(jìn)而找出未知參數(shù)的估計(jì)，基于這種思想求估計(jì)量的方法稱(chēng)為矩法。用矩法求得的估計(jì)稱(chēng)為矩法估計(jì)，簡(jiǎn)稱(chēng)矩估計(jì)。它是由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜Pearson于1894年提出的。

由辛欽大數(shù)定律知：

即對(duì)，有

或

設(shè)母體ξ的概率函數(shù)為f(x,θ₁,Λ,θ_k),其中是k個(gè)未知參數(shù)，ξ₁,Λ,ξ_n是取自這一母體的一個(gè)子樣。設(shè)ξ的k階矩v_k = Eξ^k存在，則v_j,j < k都存在，并且是θ₁,Λ,θ_k的函數(shù)v_j(θ₁,Λ,θ_k)，又子樣ξ₁,Λ,θ_k的j階矩為。我們?cè)O(shè)

(1)

這樣我們就得到含k個(gè)未知參數(shù)θ₁,Λ,θ_k的k個(gè)方程，解由這k個(gè)方程聯(lián)列所構(gòu)成的方程組就可以得到theta₁,Λ,θ_k的一組解：

(2)

用(2)中的解來(lái)估計(jì)參數(shù)θ_i 就是矩法估計(jì)。

一般我們考察的情形。

在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中，我們一般用表示θ的估計(jì)量。

下面我們舉一個(gè)與實(shí)際問(wèn)題有關(guān)的多參數(shù)的矩法估計(jì)問(wèn)題。

例:已知大學(xué)生英語(yǔ)四級(jí)考試成績(jī)ξ~N(μ,σ²)，均值μ,方差σ²均未知，ξ₁,Λ,ξ_n為取自母體ξ的一個(gè)子樣，(x₁,Λ,x_n)是子樣的一組觀(guān)測(cè)值,求μ與σ²的矩法估計(jì)。

解：注意到有兩個(gè)未知參數(shù)，由矩法估計(jì)知需兩個(gè)方程，按照(1)式得方程組

解這一方程組得μ與σ的矩法估計(jì)量

從而μ與σ²的矩法估計(jì)值分別為。

分析：注意到我們這里求出μ與σ²的矩法估計(jì)并未用到母體ξ的分布。這樣對(duì)μ,σ²作出了估計(jì)，也就對(duì)整個(gè)母體分布作出了推斷，進(jìn)而對(duì)大學(xué)生英語(yǔ)四級(jí)考試成績(jī)ξ相關(guān)的其它數(shù)字特征如標(biāo)準(zhǔn)分、標(biāo)準(zhǔn)差、偏態(tài)系數(shù)等作出了估計(jì)。

矩法估計(jì)原理簡(jiǎn)單、使用方便，使用時(shí)可以不知母體的分布，而且具有一定的優(yōu)良性質(zhì)（如矩估計(jì)為Eξ的一致最小方差無(wú)偏估計(jì)），因此在實(shí)際問(wèn)題，特別是在教育統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中被廣泛使用。

但在尋找參數(shù)的矩法估計(jì)量時(shí)，對(duì)母體原點(diǎn)矩不存在的分布如柯西分布等不能用，另一方面它只涉及母體的一些數(shù)字特征，并未用到母體的分布，因此矩法估計(jì)量實(shí)際上只集中了母體的部分信息，這樣它在體現(xiàn)母體分布特征上往往性質(zhì)較差，只有在樣本容量n較大時(shí)，才能保障它的優(yōu)良性,因而理論上講，矩法估計(jì)是以大樣本為應(yīng)用對(duì)象的。