阿羅不可能定理是由1972年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的獲得者之一阿羅首先陳述和證明的。

1951年肯尼斯·約瑟夫·阿羅（Kenneth J．Arrow)在他的現(xiàn)在已經(jīng)成為經(jīng)濟(jì)學(xué)經(jīng)典著作的《社會(huì)選擇與個(gè)人價(jià)值》一書(shū)中，采用數(shù)學(xué)的公理化方法對(duì)通行的投票選舉方式能否保證產(chǎn)生出合乎大多數(shù)人意愿的領(lǐng)導(dǎo)者或者說(shuō)“將每個(gè)個(gè)體表達(dá)的先后次序綜合成整個(gè)群體的偏好次序”進(jìn)行了研究。結(jié)果，他得出了一個(gè)驚人的結(jié)論：絕大多數(shù)情況下是——不可能的！更準(zhǔn)確的表達(dá)則是：當(dāng)至少有三名候選人和兩位選民時(shí)，不存在滿足阿羅公理的選舉規(guī)則?；蛘咭部梢哉f(shuō)是：隨著候選人和選民的增加，“程序民主”必將越來(lái)越遠(yuǎn)離“實(shí)質(zhì)民主”。從而給出了證明一個(gè)不可思議的定理：假如有一個(gè)非常民主的群體，或者說(shuō)是一個(gè)希望在民主基礎(chǔ)上作出自己的所有決策的社會(huì)，對(duì)它來(lái)說(shuō)，群體中每一個(gè)成員的要求都是同等重要的。一般地，對(duì)于最應(yīng)該做的事情，群體的每一個(gè)成員都有自己的偏好。為了決策，就要建立一個(gè)公正而一致的程序，能把個(gè)體的偏好結(jié)合起來(lái)，達(dá)成某種共識(shí)。這就要進(jìn)一步假設(shè)群體中的每一個(gè)成員都能夠按自己的偏好對(duì)所需要的各種選擇進(jìn)行排序，對(duì)所有這些排序的匯聚就是群體的排序了。

阿羅不可能定理的證明并不難，但是需要嚴(yán)格的數(shù)學(xué)邏輯思維。關(guān)于這個(gè)定理還有一段情節(jié)頗為曲折的故事。

阿羅在大學(xué)期間就迷上了數(shù)學(xué)邏輯：讀四年級(jí)的時(shí)候， 波蘭大邏輯學(xué)家塔斯基(Tarski) 到阿羅所在的大學(xué)講了一年的關(guān)系演算， 阿羅在他那里接觸到諸如傳遞性、排序等概念 在此之前． 阿羅對(duì)他所著迷的邏輯學(xué)還是全靠自學(xué)呢。

后來(lái)， 阿羅考上研究生．在哈羅德·霍特林（Harold Hotelling)的指導(dǎo)下攻讀數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué) 他發(fā)現(xiàn)，邏輯學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中大有用武之地 就拿消費(fèi)者的最優(yōu)決策來(lái)說(shuō)吧， 消費(fèi)者從許多商品組合中選出其最偏好的組合、這正好與邏輯學(xué)上的排序概念吻合。又如廠商理論總是假設(shè)廠商追求利潤(rùn)最大化， 當(dāng)考慮時(shí)間因素時(shí)， 因?yàn)閷?lái)的價(jià)格是未知的 廠商只能力圖使基于期望價(jià)格的期望利潤(rùn)最大化。我們知道、現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)中的企業(yè)一般是由許多股東所共同擁有100個(gè)股東對(duì)將來(lái)的價(jià)格可能有100種不同的期望，相應(yīng)地根據(jù)期望利潤(rùn)進(jìn)行諸如投資之類的決策時(shí)便有100種方案。那么， 問(wèn)題如何解決呢?一個(gè)自然的辦法是由股東(按其占有股份多少)進(jìn)行投票表決， 得票最多的方案獲勝 這又是一個(gè)排序問(wèn)題阿羅所受的邏輯訓(xùn)練使他自然而然地對(duì)這種關(guān)系的傳遞性進(jìn)行考察 結(jié)果輕而易舉地舉出了一個(gè)反例。

阿羅第一次對(duì)社會(huì)選擇問(wèn)題的嚴(yán)肅思考就這樣成為他學(xué)習(xí)標(biāo)準(zhǔn)廠商理論的一個(gè)副產(chǎn)品不滿足傳遞性的反例激起了阿羅的極大興趣，但同時(shí)也成為他進(jìn)一步研究的障礙 因?yàn)樗X(jué)得這個(gè)悖論素未謀面但又似曾相識(shí)。事實(shí)上這的確是一個(gè)十分古老的悖論， 是由法國(guó)政治哲學(xué)家、概率理論家貢多賽在1785年提出的 但是阿羅那時(shí)對(duì)貢多賽和其他原始材料一無(wú)所知， 于是暫時(shí)放棄了進(jìn)一步的研究。這是1947年。

次年， 在芝加哥考爾斯(Cowles)經(jīng)濟(jì)研究委員會(huì)， 阿羅出于某種原因?qū)x擇政治學(xué)發(fā)生了濃厚的興趣： 他發(fā)現(xiàn)在某些條件下，“少數(shù)服從多數(shù)”的確可以成為一個(gè)合理的投票規(guī)則。但是一個(gè)月后， 他在《政治經(jīng)濟(jì)學(xué)雜志》里發(fā)現(xiàn)布萊克(Black)的一篇文章已捷足先登， 這篇文章表達(dá)了同樣的思想看來(lái)只好再一次半途而廢了。阿羅沒(méi)有繼續(xù)研究下去其實(shí)還有另一層的原因，就是他一直以 嚴(yán)肅的 經(jīng)濟(jì)學(xué)研究為己任， 特別是致力于運(yùn)用一般均衡理論來(lái)建立一個(gè)切實(shí)可行的模型作為經(jīng)濟(jì)計(jì)量分析的基礎(chǔ) 他認(rèn)為在除此以外的“旁門(mén)左道’中深究下去會(huì)分散他的精力。

1949年夏天， 阿羅擔(dān)任蘭德公司(Rand)的顧問(wèn)。這個(gè)為給美國(guó)空軍提供咨詢而建立起來(lái)的公司那時(shí)的研究范圍十分廣泛，包括當(dāng)時(shí)尚屬鮮為人知的對(duì)策論。職員中有個(gè)名叫赫爾墨([[]Helmer]]) 的哲學(xué)家試圖將對(duì)策論應(yīng)用于國(guó)家關(guān)系的研究， 但是有個(gè)問(wèn)題令他感到十分棘手： 當(dāng)將局中人詮釋為國(guó)家時(shí)，盡管個(gè)人的偏好是足夠清楚的， 但是由個(gè)人組成的集體的偏好是如何定義的呢?阿羅告訴他， 經(jīng)濟(jì)學(xué)家已經(jīng)考慮過(guò)這個(gè)問(wèn)題， 并且一個(gè)恰當(dāng)?shù)男问交枋鲆呀?jīng)由伯格森(Bergson)在1938年給出。伯格森用一個(gè)叫做社會(huì)福利函數(shù)的映射來(lái)描述將個(gè)人偏好匯集成為社會(huì)偏好的問(wèn)題， 它將諸個(gè)人的效用組成的向量轉(zhuǎn)化為一個(gè)社會(huì)效用 雖然伯格森的敘述是基于基數(shù)效用概念的， 但是阿羅告訴赫爾墨， 不難用序數(shù)效用概念加以重新表述。于是赫爾墨順?biāo)浦郏?請(qǐng)阿羅為他寫(xiě)一個(gè)詳細(xì)的說(shuō)明，當(dāng)阿羅依囑著手去做時(shí)， 他立即意識(shí)到這個(gè)問(wèn)題跟兩年來(lái)一直困擾著他的問(wèn)題實(shí)際上是一樣的。既然已經(jīng)知道“少數(shù)服從多數(shù)“一般來(lái)說(shuō)不能將個(gè)人的偏好匯集成社會(huì)的偏好， 阿羅猜測(cè)也許會(huì)有其他方法。幾天的試探碰壁之后， 阿羅懷疑這個(gè)問(wèn)題會(huì)有一個(gè)不可能性的結(jié)果。果然， 他很快就發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)結(jié)果； 幾個(gè)星期以后， 他又對(duì)這個(gè)結(jié)果作進(jìn)一步加強(qiáng)。

阿羅不可能定理就這樣呱呱墜地了。

從1947年萌發(fā)胚芽到1950年開(kāi)花結(jié)果，阿羅不可能定理的問(wèn)世可謂一波三折， 千呼萬(wàn)喚始出來(lái)， 而且頗有點(diǎn) 無(wú)心插柳的意味。但是，正是在這無(wú)心背后的對(duì)科學(xué)鍥而不舍的追求，才使邏輯學(xué)在社會(huì)科學(xué)這塊他鄉(xiāng)異壤開(kāi)出一朵千古留芳的奇葩， 這不能不說(shuō)是耐人尋味的。

阿羅不可能定理指出，通過(guò)反映社會(huì)中所有個(gè)體的偏好而進(jìn)行的民主投票是不能產(chǎn)生社會(huì)福利函數(shù)的。阿羅認(rèn)為，任何建立在個(gè)人偏好基礎(chǔ)上的公眾決策機(jī)制必須滿足一些基本要求：

一是集體理性。即如果所有個(gè)人的偏好具備完備性、傳遞性和自反性，則任何決策機(jī)制所導(dǎo)出的集體偏好也必須具備這些特性。

二是無(wú)限制性。公眾決策機(jī)制不得排斥任何形式的個(gè)人偏好，只要該偏好具備完備性、傳遞性和自反性。

三是帕累托較優(yōu)性。如果每個(gè)人都認(rèn)為方案A比方案B優(yōu)越，那么集體偏好也必須認(rèn)為方案A比方案B優(yōu)越。

四是偏好獨(dú)立性。集體偏好對(duì)方案A和方案B之問(wèn)的排名只取決于人們對(duì)這兩種選擇之間的排名，而跟人們對(duì)其他選擇的排名無(wú)關(guān)。

阿羅不可能定理指出，完全滿足上述條件的公眾決策必然是一個(gè)獨(dú)裁決策，即以一個(gè)人的偏好順序代替所有的社會(huì)偏好順序，而這與建立在個(gè)人偏好基礎(chǔ)上的公眾決策機(jī)制是相違背的。因此說(shuō)，滿足上述4項(xiàng)條件的公眾決策機(jī)制是不存在的。

現(xiàn)在，西方經(jīng)濟(jì)學(xué)家們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到，雖然阿羅不可能定理使福利經(jīng)濟(jì)學(xué)籠罩在一片悲觀的氣氛之中，但是它對(duì)福利經(jīng)濟(jì)學(xué)發(fā)展所起的作用卻是很重要的。因?yàn)?8和19世紀(jì)就已經(jīng)有人注意到集體決策可能導(dǎo)致矛盾的結(jié)果，但直到阿羅才對(duì)這一問(wèn)題給出了一個(gè)一般性的結(jié)論，免去了人們?cè)S多無(wú)謂的研究。更為重要的是，阿羅不可能性定理使西方經(jīng)濟(jì)學(xué)家們重新對(duì)社會(huì)選擇問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究，并試圖尋找避免不可能性這一悲觀結(jié)論的方法。經(jīng)濟(jì)學(xué)家的研究表明，阿羅不可能定理只適用于投票式的集體選擇規(guī)則，并不具備普遍意義。

案例1：阿羅不可能定理——少數(shù)服從多數(shù)原則的局限性

　　案例適用：帕累托最優(yōu)狀態(tài)

　　案例內(nèi)容：

　　在我們的心目中，選舉的意義恐怕就在于大家根據(jù)多數(shù)票原則，通過(guò)投票推舉出最受我們愛(ài)戴或信賴的人。然而，通過(guò)選舉能否達(dá)到這個(gè)目的呢?1972年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者、美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家阿羅采用數(shù)學(xué)中的公理化方法，于1951年深入研究了這個(gè)問(wèn)題，并得出在大多數(shù)情況下是否定的結(jié)論，那就是鼎鼎大名的“阿羅不可能定理”。阿羅不可能定理是指在一般情況下，要從已知的各種個(gè)人偏好順序中推導(dǎo)出統(tǒng)一的社會(huì)偏好順序是不可能的。我們對(duì)此加以證明。

　　假定有張三、李四、王五三個(gè)人，他們?yōu)樽约鹤钕矚g的明星發(fā)生了爭(zhēng)執(zhí)，他們?cè)趧⒌氯A、張學(xué)友、郭富城三人誰(shuí)更受觀眾歡迎的問(wèn)題上爭(zhēng)執(zhí)不下。張三排的順序是劉德華、張學(xué)友、郭富城。李四排的順序是張學(xué)友、郭富城、劉德華。王五排的順序是郭富城、劉德華、張學(xué)友。到底誰(shuí)更受歡迎呢?沒(méi)有一個(gè)大家都認(rèn)可的結(jié)果。如果規(guī)定每人只投一票，三個(gè)明星將各得一票，無(wú)法分出勝負(fù)，如果將改為對(duì)每?jī)蓚€(gè)明星都采取三人投票然后依少數(shù)服從多數(shù)的原則決定次序，結(jié)果又會(huì)怎樣呢?

　　首先看對(duì)劉德華和張學(xué)友的評(píng)價(jià)，由于張三和王五都把劉德華放在張學(xué)友的前邊，二人都會(huì)選擇劉德華而放棄張學(xué)友，只有李四認(rèn)為張學(xué)友的魅力大于劉德華，依少數(shù)服從多數(shù)的原則，第一輪劉德華以二比一勝出；再看對(duì)張學(xué)友和郭富城的評(píng)價(jià)，張三和李四都認(rèn)為應(yīng)把張學(xué)友放在郭富城的前邊，只有王五一人投郭富城的票。在第二輪角逐中，自然是張學(xué)友勝出；接著再來(lái)看對(duì)劉德華和郭富城的評(píng)價(jià)，李四和王五都認(rèn)為還是郭富城更棒，只有張三認(rèn)為應(yīng)該把劉德華放在前邊，第三輪當(dāng)然是郭富城獲勝。

　　通過(guò)這三輪投票，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)劉德華的評(píng)價(jià)大于張學(xué)友，對(duì)張學(xué)友的評(píng)價(jià)大于郭富城，而對(duì)郭富城的評(píng)價(jià)又大于劉德華，很明顯我們陷入了一個(gè)循環(huán)的境地。這就是“投票悖論”，也就是說(shuō)不管采用何種游戲規(guī)則，都無(wú)法通過(guò)投票得出符合游戲規(guī)則的結(jié)果。如果世界上僅限于選明星的事情就好辦多了，問(wèn)題在于一些關(guān)系到國(guó)家命運(yùn)的事情的決定上，也往往會(huì)出現(xiàn)上述的“投票悖論”問(wèn)題。對(duì)此很多人進(jìn)行了探討，但都沒(méi)有拿出更有說(shuō)服力的辦法。

　　在所有人為尋找“最優(yōu)公共選擇原則”奔忙而無(wú)獲的時(shí)候，美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家阿羅經(jīng)過(guò)苦心研究，在1951年出版的《社會(huì)選擇與個(gè)人價(jià)值》提出他的不可能定理。并為此獲得了1972年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。阿羅不可能定理的意思是，“只要給出幾個(gè)選擇者都必然會(huì)接受的前提條件，在這些前提條件的規(guī)定下，人們?cè)谝话慊蚱毡橐饬x上不可能找到一套規(guī)則(或程序)在個(gè)人選擇順序基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來(lái)”。由此進(jìn)一步推出，在一般或普遍意義上，無(wú)法找到能保證所有選擇者福利只會(huì)增加不會(huì)受損的社會(huì)狀態(tài)。

　　阿羅所說(shuō)的幾個(gè)選擇者必然接受的條件是：廣泛性。至少有三個(gè)或三個(gè)以上的被選方案，以供選擇者選擇；一致性。既一定的社會(huì)選擇順序以一定的個(gè)人選擇為基礎(chǔ)，但必須符合公眾的一致偏好；獨(dú)立性。不相關(guān)的方案具有獨(dú)立性；獨(dú)立主權(quán)原則。對(duì)備選方案的選擇和確定，應(yīng)由公民完全依據(jù)個(gè)人的喜好而定，不能由社會(huì)強(qiáng)加；非獨(dú)裁性。不能讓每一個(gè)人的喜好決定整個(gè)社會(huì)對(duì)備選方案的排序順序，應(yīng)堅(jiān)持自由和民主的原則。

　　阿羅認(rèn)為上述五個(gè)相互獨(dú)立的條件每一個(gè)都是必要的，但是要構(gòu)造能同時(shí)滿足這些條件的社會(huì)福利函數(shù)是不可能的。導(dǎo)致不可能的原因在于1—5個(gè)條件之間存在相互矛盾，因此不可能達(dá)到完全一致。他從中得出了一個(gè)似乎不可思議的結(jié)論：沒(méi)有任何解決辦法能夠擺脫“投票悖論”的陰影，在從個(gè)人偏好過(guò)渡到社會(huì)偏好時(shí)，能使社會(huì)偏好得到滿足，又能代表廣泛的個(gè)人偏好這樣一種排序方法，只有強(qiáng)制與獨(dú)裁。這樣尋找合理的社會(huì)選擇機(jī)制的努力就幾乎陷入了困境。

　　阿羅不可能定理，打破了一些被人們認(rèn)為是真理的觀點(diǎn)，也讓我們對(duì)公共選擇和民主制度有了新的認(rèn)識(shí)。因?yàn)槲覀兯瞥绲摹吧贁?shù)服從多數(shù)”的社會(huì)選擇方式不能滿足“阿羅五個(gè)條件”如市場(chǎng)存在著失靈一樣，對(duì)公共選擇原則也會(huì)導(dǎo)致民主的失效。因此多數(shù)票原則的合理性是有限度的。