阿羅不可能定理是由1972年諾貝爾經(jīng)濟學獎的獲得者之一阿羅首先陳述和證明的。

1951年肯尼斯·約瑟夫·阿羅（Kenneth J．Arrow)在他的現(xiàn)在已經(jīng)成為經(jīng)濟學經(jīng)典著作的《社會選擇與個人價值》一書中，采用數(shù)學的公理化方法對通行的投票選舉方式能否保證產(chǎn)生出合乎大多數(shù)人意愿的領(lǐng)導者或者說“將每個個體表達的先后次序綜合成整個群體的偏好次序”進行了研究。結(jié)果，他得出了一個驚人的結(jié)論：絕大多數(shù)情況下是——不可能的！更準確的表達則是：當至少有三名候選人和兩位選民時，不存在滿足阿羅公理的選舉規(guī)則?；蛘咭部梢哉f是：隨著候選人和選民的增加，“程序民主”必將越來越遠離“實質(zhì)民主”。從而給出了證明一個不可思議的定理：假如有一個非常民主的群體，或者說是一個希望在民主基礎(chǔ)上作出自己的所有決策的社會，對它來說，群體中每一個成員的要求都是同等重要的。一般地，對于最應(yīng)該做的事情，群體的每一個成員都有自己的偏好。為了決策，就要建立一個公正而一致的程序，能把個體的偏好結(jié)合起來，達成某種共識。這就要進一步假設(shè)群體中的每一個成員都能夠按自己的偏好對所需要的各種選擇進行排序，對所有這些排序的匯聚就是群體的排序了。

阿羅不可能定理的證明并不難，但是需要嚴格的數(shù)學邏輯思維。關(guān)于這個定理還有一段情節(jié)頗為曲折的故事。

阿羅在大學期間就迷上了數(shù)學邏輯：讀四年級的時候， 波蘭大邏輯學家塔斯基(Tarski) 到阿羅所在的大學講了一年的關(guān)系演算， 阿羅在他那里接觸到諸如傳遞性、排序等概念 在此之前． 阿羅對他所著迷的邏輯學還是全靠自學呢。

后來， 阿羅考上研究生．在哈羅德·霍特林（Harold Hotelling)的指導下攻讀數(shù)理經(jīng)濟學 他發(fā)現(xiàn)，邏輯學在經(jīng)濟學中大有用武之地 就拿消費者的最優(yōu)決策來說吧， 消費者從許多商品組合中選出其最偏好的組合、這正好與邏輯學上的排序概念吻合。又如廠商理論總是假設(shè)廠商追求利潤最大化， 當考慮時間因素時， 因為將來的價格是未知的 廠商只能力圖使基于期望價格的期望利潤最大化。我們知道、現(xiàn)代經(jīng)濟中的企業(yè)一般是由許多股東所共同擁有100個股東對將來的價格可能有100種不同的期望，相應(yīng)地根據(jù)期望利潤進行諸如投資之類的決策時便有100種方案。那么， 問題如何解決呢?一個自然的辦法是由股東(按其占有股份多少)進行投票表決， 得票最多的方案獲勝 這又是一個排序問題阿羅所受的邏輯訓練使他自然而然地對這種關(guān)系的傳遞性進行考察 結(jié)果輕而易舉地舉出了一個反例。

阿羅第一次對社會選擇問題的嚴肅思考就這樣成為他學習標準廠商理論的一個副產(chǎn)品不滿足傳遞性的反例激起了阿羅的極大興趣，但同時也成為他進一步研究的障礙 因為他覺得這個悖論素未謀面但又似曾相識。事實上這的確是一個十分古老的悖論， 是由法國政治哲學家、概率理論家貢多賽在1785年提出的 但是阿羅那時對貢多賽和其他原始材料一無所知， 于是暫時放棄了進一步的研究。這是1947年。

次年， 在芝加哥考爾斯(Cowles)經(jīng)濟研究委員會， 阿羅出于某種原因?qū)x擇政治學發(fā)生了濃厚的興趣： 他發(fā)現(xiàn)在某些條件下，“少數(shù)服從多數(shù)”的確可以成為一個合理的投票規(guī)則。但是一個月后， 他在《政治經(jīng)濟學雜志》里發(fā)現(xiàn)布萊克(Black)的一篇文章已捷足先登， 這篇文章表達了同樣的思想看來只好再一次半途而廢了。阿羅沒有繼續(xù)研究下去其實還有另一層的原因，就是他一直以 嚴肅的 經(jīng)濟學研究為己任， 特別是致力于運用一般均衡理論來建立一個切實可行的模型作為經(jīng)濟計量分析的基礎(chǔ) 他認為在除此以外的“旁門左道’中深究下去會分散他的精力。

1949年夏天， 阿羅擔任蘭德公司(Rand)的顧問。這個為給美國空軍提供咨詢而建立起來的公司那時的研究范圍十分廣泛，包括當時尚屬鮮為人知的對策論。職員中有個名叫赫爾墨([[]Helmer]]) 的哲學家試圖將對策論應(yīng)用于國家關(guān)系的研究， 但是有個問題令他感到十分棘手： 當將局中人詮釋為國家時，盡管個人的偏好是足夠清楚的， 但是由個人組成的集體的偏好是如何定義的呢?阿羅告訴他， 經(jīng)濟學家已經(jīng)考慮過這個問題， 并且一個恰當?shù)男问交枋鲆呀?jīng)由伯格森(Bergson)在1938年給出。伯格森用一個叫做社會福利函數(shù)的映射來描述將個人偏好匯集成為社會偏好的問題， 它將諸個人的效用組成的向量轉(zhuǎn)化為一個社會效用 雖然伯格森的敘述是基于基數(shù)效用概念的， 但是阿羅告訴赫爾墨， 不難用序數(shù)效用概念加以重新表述。于是赫爾墨順水推舟， 請阿羅為他寫一個詳細的說明，當阿羅依囑著手去做時， 他立即意識到這個問題跟兩年來一直困擾著他的問題實際上是一樣的。既然已經(jīng)知道“少數(shù)服從多數(shù)“一般來說不能將個人的偏好匯集成社會的偏好， 阿羅猜測也許會有其他方法。幾天的試探碰壁之后， 阿羅懷疑這個問題會有一個不可能性的結(jié)果。果然， 他很快就發(fā)現(xiàn)了這樣一個結(jié)果； 幾個星期以后， 他又對這個結(jié)果作進一步加強。

阿羅不可能定理就這樣呱呱墜地了。

從1947年萌發(fā)胚芽到1950年開花結(jié)果，阿羅不可能定理的問世可謂一波三折， 千呼萬喚始出來， 而且頗有點 無心插柳的意味。但是，正是在這無心背后的對科學鍥而不舍的追求，才使邏輯學在社會科學這塊他鄉(xiāng)異壤開出一朵千古留芳的奇葩， 這不能不說是耐人尋味的。

阿羅不可能定理指出，通過反映社會中所有個體的偏好而進行的民主投票是不能產(chǎn)生社會福利函數(shù)的。阿羅認為，任何建立在個人偏好基礎(chǔ)上的公眾決策機制必須滿足一些基本要求：

一是集體理性。即如果所有個人的偏好具備完備性、傳遞性和自反性，則任何決策機制所導出的集體偏好也必須具備這些特性。

二是無限制性。公眾決策機制不得排斥任何形式的個人偏好，只要該偏好具備完備性、傳遞性和自反性。

三是帕累托較優(yōu)性。如果每個人都認為方案A比方案B優(yōu)越，那么集體偏好也必須認為方案A比方案B優(yōu)越。

四是偏好獨立性。集體偏好對方案A和方案B之問的排名只取決于人們對這兩種選擇之間的排名，而跟人們對其他選擇的排名無關(guān)。

阿羅不可能定理指出，完全滿足上述條件的公眾決策必然是一個獨裁決策，即以一個人的偏好順序代替所有的社會偏好順序，而這與建立在個人偏好基礎(chǔ)上的公眾決策機制是相違背的。因此說，滿足上述4項條件的公眾決策機制是不存在的。

現(xiàn)在，西方經(jīng)濟學家們已經(jīng)認識到，雖然阿羅不可能定理使福利經(jīng)濟學籠罩在一片悲觀的氣氛之中，但是它對福利經(jīng)濟學發(fā)展所起的作用卻是很重要的。因為18和19世紀就已經(jīng)有人注意到集體決策可能導致矛盾的結(jié)果，但直到阿羅才對這一問題給出了一個一般性的結(jié)論，免去了人們許多無謂的研究。更為重要的是，阿羅不可能性定理使西方經(jīng)濟學家們重新對社會選擇問題進行了深入的研究，并試圖尋找避免不可能性這一悲觀結(jié)論的方法。經(jīng)濟學家的研究表明，阿羅不可能定理只適用于投票式的集體選擇規(guī)則，并不具備普遍意義。

案例1：阿羅不可能定理——少數(shù)服從多數(shù)原則的局限性

　　案例適用：帕累托最優(yōu)狀態(tài)

　　案例內(nèi)容：

　　在我們的心目中，選舉的意義恐怕就在于大家根據(jù)多數(shù)票原則，通過投票推舉出最受我們愛戴或信賴的人。然而，通過選舉能否達到這個目的呢?1972年諾貝爾經(jīng)濟學獎獲得者、美國經(jīng)濟學家阿羅采用數(shù)學中的公理化方法，于1951年深入研究了這個問題，并得出在大多數(shù)情況下是否定的結(jié)論，那就是鼎鼎大名的“阿羅不可能定理”。阿羅不可能定理是指在一般情況下，要從已知的各種個人偏好順序中推導出統(tǒng)一的社會偏好順序是不可能的。我們對此加以證明。

　　假定有張三、李四、王五三個人，他們?yōu)樽约鹤钕矚g的明星發(fā)生了爭執(zhí)，他們在劉德華、張學友、郭富城三人誰更受觀眾歡迎的問題上爭執(zhí)不下。張三排的順序是劉德華、張學友、郭富城。李四排的順序是張學友、郭富城、劉德華。王五排的順序是郭富城、劉德華、張學友。到底誰更受歡迎呢?沒有一個大家都認可的結(jié)果。如果規(guī)定每人只投一票，三個明星將各得一票，無法分出勝負，如果將改為對每兩個明星都采取三人投票然后依少數(shù)服從多數(shù)的原則決定次序，結(jié)果又會怎樣呢?

　　首先看對劉德華和張學友的評價，由于張三和王五都把劉德華放在張學友的前邊，二人都會選擇劉德華而放棄張學友，只有李四認為張學友的魅力大于劉德華，依少數(shù)服從多數(shù)的原則，第一輪劉德華以二比一勝出；再看對張學友和郭富城的評價，張三和李四都認為應(yīng)把張學友放在郭富城的前邊，只有王五一人投郭富城的票。在第二輪角逐中，自然是張學友勝出；接著再來看對劉德華和郭富城的評價，李四和王五都認為還是郭富城更棒，只有張三認為應(yīng)該把劉德華放在前邊，第三輪當然是郭富城獲勝。

　　通過這三輪投票，我們發(fā)現(xiàn)對劉德華的評價大于張學友，對張學友的評價大于郭富城，而對郭富城的評價又大于劉德華，很明顯我們陷入了一個循環(huán)的境地。這就是“投票悖論”，也就是說不管采用何種游戲規(guī)則，都無法通過投票得出符合游戲規(guī)則的結(jié)果。如果世界上僅限于選明星的事情就好辦多了，問題在于一些關(guān)系到國家命運的事情的決定上，也往往會出現(xiàn)上述的“投票悖論”問題。對此很多人進行了探討，但都沒有拿出更有說服力的辦法。

　　在所有人為尋找“最優(yōu)公共選擇原則”奔忙而無獲的時候，美國經(jīng)濟學家阿羅經(jīng)過苦心研究，在1951年出版的《社會選擇與個人價值》提出他的不可能定理。并為此獲得了1972年諾貝爾經(jīng)濟學獎。阿羅不可能定理的意思是，“只要給出幾個選擇者都必然會接受的前提條件，在這些前提條件的規(guī)定下，人們在一般或普遍意義上不可能找到一套規(guī)則(或程序)在個人選擇順序基礎(chǔ)上推導出來”。由此進一步推出，在一般或普遍意義上，無法找到能保證所有選擇者福利只會增加不會受損的社會狀態(tài)。

　　阿羅所說的幾個選擇者必然接受的條件是：廣泛性。至少有三個或三個以上的被選方案，以供選擇者選擇；一致性。既一定的社會選擇順序以一定的個人選擇為基礎(chǔ)，但必須符合公眾的一致偏好；獨立性。不相關(guān)的方案具有獨立性；獨立主權(quán)原則。對備選方案的選擇和確定，應(yīng)由公民完全依據(jù)個人的喜好而定，不能由社會強加；非獨裁性。不能讓每一個人的喜好決定整個社會對備選方案的排序順序，應(yīng)堅持自由和民主的原則。

　　阿羅認為上述五個相互獨立的條件每一個都是必要的，但是要構(gòu)造能同時滿足這些條件的社會福利函數(shù)是不可能的。導致不可能的原因在于1—5個條件之間存在相互矛盾，因此不可能達到完全一致。他從中得出了一個似乎不可思議的結(jié)論：沒有任何解決辦法能夠擺脫“投票悖論”的陰影，在從個人偏好過渡到社會偏好時，能使社會偏好得到滿足，又能代表廣泛的個人偏好這樣一種排序方法，只有強制與獨裁。這樣尋找合理的社會選擇機制的努力就幾乎陷入了困境。

　　阿羅不可能定理，打破了一些被人們認為是真理的觀點，也讓我們對公共選擇和民主制度有了新的認識。因為我們所推崇的“少數(shù)服從多數(shù)”的社會選擇方式不能滿足“阿羅五個條件”如市場存在著失靈一樣，對公共選擇原則也會導致民主的失效。因此多數(shù)票原則的合理性是有限度的。