公理化方法是數(shù)學(xué)中的重要方法，它的主要精神是從盡可能少的幾條公理以及若干原始概念出發(fā)，推導(dǎo)出盡可能多的命題。

隨著假設(shè)演繹模型法的進(jìn)一步發(fā)展，經(jīng)濟(jì)學(xué)日益走向公理化方法。最早出現(xiàn)在二千多年前的歐幾里德幾何學(xué)中，當(dāng)時(shí)認(rèn)為“公理”(如兩點(diǎn)之間可連一直線)是一種不需要證明的自明之理，而其他所謂“定理” (如三對(duì)應(yīng)邊相等的兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)角相等)則是需要由公理出發(fā)來(lái)證明的,18世紀(jì)德國(guó)哲學(xué)家康德認(rèn)為，歐幾里德幾何的公理是人們生來(lái)就有的先驗(yàn)知識(shí)，19世紀(jì)末，德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特(David Hilbert)在他的幾何基礎(chǔ)研究中系統(tǒng)地提出數(shù)學(xué)的公理化方法。他認(rèn)為每一種數(shù)學(xué)理論都應(yīng)以“基本概念——公理——定理” 的模式來(lái)建立：這里的公理是作為理論出發(fā)點(diǎn)的科學(xué)假設(shè)，它們要求有完備性(任何定理可由此導(dǎo)出)、獨(dú)立性(去掉其中之一有的定理就不能成立)和相容性(公理間是無(wú)矛盾的),但公理本身也由人們作各種解釋。20世紀(jì)以來(lái)，整個(gè)數(shù)學(xué)體系幾乎都巳按希爾伯特的模式得到公理化處理。

(1)公理系統(tǒng)是一個(gè)有序的整體。它并不平等地對(duì)待系統(tǒng)中的所有命題，而是將其劃分為兩類(lèi)：公理(不加證明引入的)及定理(需要證明其為真的)并按縱向由淺入深地建立起多命題間的有機(jī)的聯(lián)系。

(2)在公理系統(tǒng)中，只要不是公理中的命題都不能不加證明地引用，沒(méi)有經(jīng)過(guò)嚴(yán)格論證過(guò)的命題無(wú)資格作為演繹推論的前提，因而就排除了繼續(xù)運(yùn)用歸納法引入演繹前提的渠道，成為純粹的演繹系統(tǒng)。

(3)公理系統(tǒng)是形式化的。只著眼于概念、命題間的關(guān)系，不考慮其來(lái)源、運(yùn)用和發(fā)展。盡管它最先引入了一些原始對(duì)象(概念和命題)，但對(duì)這些東西的解釋卻被當(dāng)作系統(tǒng)之外的事，在系統(tǒng)內(nèi)，只是作為一種“假設(shè)”。

①實(shí)質(zhì)性公理化方法

所謂實(shí)質(zhì)性公理化方法是指在一個(gè)公理系統(tǒng)中，基本概念(包括基本對(duì)象和基本關(guān)系)不是原始概念，而是給基本概念下了定義或確定了它的具體內(nèi)容，也就是說(shuō)，一個(gè)公理系統(tǒng)研究的對(duì)象的范圍、涵義和特征是先于公理而給出的，公理只是表達(dá)這類(lèi)特定對(duì)象的基本性質(zhì)，而且必須是不證自明的。例如，歐幾里得的《幾何原本》就是一個(gè)典型的例子。在公元前3世紀(jì)左右，歐幾里得總結(jié)了前人積累起來(lái)的大量的幾何知識(shí)，對(duì)其進(jìn)行抽象分析，找出了一系列的基本概念和基本性質(zhì)(公理)，然后按邏輯規(guī)律建立成一個(gè)公理系統(tǒng)。該系統(tǒng)包含了當(dāng)時(shí)所有的幾何知識(shí)，成為一個(gè)有機(jī)聯(lián)系的系統(tǒng)。在《幾何原本》中，歐幾里得首先提出了三個(gè)基本元素(點(diǎn)、線、面)作為歐氏幾何系統(tǒng)的幾何對(duì)象，然后又提出三個(gè)基本關(guān)系(屬于、介于、合同)作為基本元素所具有的基本關(guān)系，這三個(gè)基本元素和基本關(guān)系構(gòu)成了歐幾里得公理系統(tǒng)的基本概念，這些概念都有其具體的幾何意義。在此基礎(chǔ)上，歐幾里得又提出了反映這些基本概念所特有的最基本的性質(zhì)，即五個(gè)公設(shè)和五個(gè)公理；最后，由這些公設(shè)、公理出發(fā)，借助邏輯演繹規(guī)則推出其他性質(zhì)，即命題。在(幾何原本)里給出了465個(gè)命題：(幾何原本)在數(shù)學(xué)發(fā)展史上樹(shù)立了一座不朽的豐碑。它的貢獻(xiàn)不在于發(fā)現(xiàn)了幾條新命題，更主要的是標(biāo)志了數(shù)學(xué)領(lǐng)域中公理化方法的誕生。

然而，(幾何原本)中的公理系統(tǒng)并非完善，如，定義不完善，有些概念應(yīng)是不加定義的原始概念；在運(yùn)用中，往往使用了一些未定義的概念，有些命題的證明過(guò)程過(guò)分依下直觀，缺少?lài)?yán)格的推理。這些不足之處，早為古代學(xué)者所發(fā)現(xiàn)，特別是對(duì)第五公設(shè)的懷疑，促使許多數(shù)學(xué)家不斷地去努力完善它。在這些數(shù)學(xué)家中，尤以德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特為杰出代表。在1899年出版的名著(幾何基礎(chǔ))中，他吸收了前人優(yōu)秀成果，完善了(幾何原本)的公理系統(tǒng)，發(fā)展了幾何學(xué)公理方法，使公理化方法發(fā)生了一個(gè)質(zhì)的飛躍，產(chǎn)生了全新的形式公理化方法。

②形式公理化方法

形式公理化方法是指一個(gè)系統(tǒng)中基本概念作為不加定義的原始概念，也就是說(shuō)，在一個(gè)公理系統(tǒng)中它所研究的對(duì)象的范圍、涵義和特征不是先于公理而確定，而是由公理組予以確定，也稱(chēng)隱定義。如希爾伯特的(幾何基礎(chǔ))中的公理系統(tǒng)都是屬于形式化的公理系統(tǒng)。

這種公理系統(tǒng)由三部分組成，①基本對(duì)象(或原始對(duì)象)，如點(diǎn)、線、面；②基本關(guān)系(或原始關(guān)系)，如結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系、合同關(guān)系、連續(xù)關(guān)系、平行關(guān)系；③基本性質(zhì)(或公理)，如結(jié)合公理、順序公理、合同公理、平行公理、連續(xù)公理。

從表面上看，上述兩種公理化方法的主要差別在于前者不完備而后者完備，但這不是本質(zhì)上的差別，其本質(zhì)差別在于基本概念是定義于公理之前、還是定義于公理之后。(幾何原本)的公理系統(tǒng)中，基本概念定義于公理之前，而且有明顯的幾何意義，其必然使公理束縛于直覺(jué)觀念。而形式化的公理化方法是先確定公理組，后確定基本概念，也就是說(shuō)，誰(shuí)能滿足公理組所要求的條件，誰(shuí)就有資格作為該公理系統(tǒng)的研究對(duì)象。如希爾伯特的幾何公理系統(tǒng)中的點(diǎn)、線概念被解釋成幾何中的點(diǎn)和線，就可以得到一個(gè)初等幾何理論系統(tǒng)；若把它們解釋成代數(shù)中的點(diǎn)和線，即數(shù)對(duì)(x，y)與線性方程A_x + B_y + C = 0，就可以得到一個(gè)代數(shù)理論系統(tǒng)，這也正是形式公理化方法的最大優(yōu)點(diǎn)所在。

③純形式公理化方法

隨著集合淪的建立和數(shù)理邏輯的發(fā)展，希爾伯特又把公理化方法推向一個(gè)新的階段，即純形式化階段。其基本思想就是，采用符號(hào)語(yǔ)言把一個(gè)數(shù)學(xué)理論的全部命題變成公式的集合，然后證明這個(gè)集合是無(wú)矛盾的。

(1)這種方法具有分析、總結(jié)數(shù)學(xué)知識(shí)的作用．凡取得了公理化結(jié)構(gòu)形式的數(shù)學(xué)，由于定理與命題均已按照邏輯演繹關(guān)系串聯(lián)起來(lái)，故使用起來(lái)也較方便．

(2)公理化方法把一門(mén)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)分析得清清楚楚，這就有利于比較各門(mén)數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)性異同，并能促使和推動(dòng)新理論的創(chuàng)立．

(3)數(shù)學(xué)公理化方法在科學(xué)方法論上有示范作用．這種方法對(duì)現(xiàn)代理論力學(xué)及各門(mén)自然科學(xué)理論的表述方法都起到了積極的借鑒作用．例如，20世紀(jì)40年代波蘭的巴拿赫(Banach)曾完成了理論力學(xué)的公理化；物理學(xué)家還把相對(duì)論表述為公理化形式，等等．

(4)公理化方法形式表現(xiàn)的簡(jiǎn)潔性、條理性和結(jié)構(gòu)的和諧性正好符合美學(xué)上的要求．

運(yùn)用數(shù)學(xué)公理化方法，就是要根據(jù)本學(xué)科提供的豐富材料，通過(guò)深入的分析，尋找其間的邏輯關(guān)系，從中抽象出少數(shù)基本概念和基本命題，將其作為公設(shè)、公理和基本概念并在此基礎(chǔ)上運(yùn)用邏輯規(guī)則進(jìn)行推理、論證，推導(dǎo)出其他一系列的定理、性質(zhì)，建立起演繹系統(tǒng)。一個(gè)公理系統(tǒng)建立得是否合理，是否科學(xué)，一定要具備以下三個(gè)條件：

①相容性

—個(gè)公理系統(tǒng)中，不能存在兩種截然相反的命題，即正、逆命題不能同時(shí)在一公理系統(tǒng)中成立。這也稱(chēng)協(xié)調(diào)性或—致性。

②獨(dú)工性

在一個(gè)公理系統(tǒng)中，所選定的各個(gè)公理，它們之間不能有依存關(guān)系，一個(gè)公理不能被其它公理所推出，否則這個(gè)公理實(shí)質(zhì)上是個(gè)定理，在公理系統(tǒng)中就成為多余的。

③完備性

在公理系統(tǒng)中，要保證該公理組推出該系統(tǒng)的全部真命題。

③完備性在公理系統(tǒng)中，要保證該公理組推出該系統(tǒng)的全部真命題。上述三點(diǎn)是對(duì)一個(gè)完善的公理系統(tǒng)的基本要求。但是，一個(gè)公理系統(tǒng)要逐一驗(yàn)證滿足這三個(gè)條件，并不是那么簡(jiǎn)單的。

(1)相容性：亦稱(chēng)無(wú)矛盾性。如果一個(gè)公理系統(tǒng)2不存在兩個(gè)相互矛盾的命題，則稱(chēng)2是相容的或無(wú)矛盾的。對(duì)公理系統(tǒng)相容性的要求是最基本的要求，任何理論體系皆要滿足這要求，否則，就不具有存在的價(jià)值。當(dāng)然，這種相容性?xún)H指在同一個(gè)確定的公理系統(tǒng)中。對(duì)于兩個(gè)不同的公理體系，也可能出現(xiàn)相互矛盾的公理或定理。例如在歐氏幾何中，"三角形內(nèi)角和是180°"是真命題，但在非歐氏幾何中，卻是假命題，

(2)獨(dú)立性：指公理系統(tǒng)中的每一條都有存在的必要性，換言之，公理系統(tǒng)任何一條公理都不應(yīng)該根據(jù)這一系統(tǒng)的規(guī)則由其它公理推出來(lái)。實(shí)際上就是要求系統(tǒng)中的公理數(shù)目減少到最低限度，不允許有多余者存在，這一條保證了公理的簡(jiǎn)單性。

(3)完備性：指確保從公理系統(tǒng)出發(fā)能推出所論數(shù)學(xué)分支的全部命題，而不需憑借經(jīng)驗(yàn)和直觀。它保證了必要的公理不能少。由于可能的定理的個(gè)數(shù)是沒(méi)有限制的，也可用同構(gòu)的觀點(diǎn)對(duì)完備性作更確切的解釋?zhuān)矗喝绻阎墓硐到y(tǒng)所有模型都是同構(gòu)的，則該系統(tǒng)稱(chēng)為完備的(這一性質(zhì)稱(chēng)為范疇性)。

(1)古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德的《幾何原本》就是這樣給出了一個(gè)古典的公理化體系。在這部世界名著中，歐幾里德由23個(gè)定義、5條公設(shè)和5條公理，推出眾多的定理。這是科學(xué)史上第一個(gè)嚴(yán)密的理論體系，它對(duì)以后西方數(shù)學(xué)及自然科學(xué)的發(fā)展具有深遠(yuǎn)的影響。

(2)牛頓的不朽之作《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》就是根據(jù)公理化方法寫(xiě)成的。它以(牛頓)運(yùn)動(dòng)三定律和萬(wàn)有引力定律為其理論體系的邏輯起點(diǎn)，運(yùn)用演繹邏輯和數(shù)學(xué)的形式化方法，推導(dǎo)出了關(guān)于力的平行四邊形法則、動(dòng)量守恒、相對(duì)性原理等6條定理，構(gòu)筑了經(jīng)典力學(xué)的理論體系。

(3)愛(ài)因斯坦(Albert Einstein)創(chuàng)建相對(duì)論時(shí)，也是采用公理化方法。他以光速不變?cè)砗拖鄬?duì)性原理這兩條基本假設(shè)作為建構(gòu)整個(gè)狹義相對(duì)論理論體系的邏輯起點(diǎn)；以等價(jià)性原理(又稱(chēng)。等效原理”)和廣義協(xié)變?cè)?又稱(chēng)為廣義相對(duì)論中的“相對(duì)性原理”)作為邏輯起點(diǎn)，建構(gòu)出廣義相對(duì)論的完整體系。

經(jīng)濟(jì)學(xué)中的公理化方法從20世紀(jì)3O年代起就有了應(yīng)用，但對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)有決定性影響的則是德布魯(G·Debreu)的經(jīng)典著作:《價(jià)值理論：經(jīng)濟(jì)均衡的一種公理化分析》在這一公理化分析中的基本概念是：商品空問(wèn)、價(jià)格體系，消費(fèi)者和生產(chǎn)者。由此又可導(dǎo)出需求、供給、可達(dá)狀態(tài)、經(jīng)濟(jì)均衡等概念。然后，再對(duì)各個(gè)理念作出明確的數(shù)學(xué)規(guī)定，即公理，這包括一些最基本的前提假設(shè)。

供求雙方的相互作用通過(guò)價(jià)格機(jī)制來(lái)間接完成，最終價(jià)格使經(jīng)濟(jì)中對(duì)立的、變動(dòng)的力量達(dá)到一種力量相當(dāng)、相對(duì)靜止、不再變動(dòng)的境界，實(shí)現(xiàn)了所有市場(chǎng)參與者的最大化和供求相等的狀態(tài)，即市場(chǎng)出清了。這是由公理出發(fā)證明的一般均衡存在的定理。

德布魯以后，公理化方法已滲入到經(jīng)濟(jì)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，它的優(yōu)點(diǎn)首先在于能夠使經(jīng)濟(jì)學(xué)中的“公理” 與“定理” 嚴(yán)格區(qū)分開(kāi)來(lái)。側(cè)如，認(rèn)為完全競(jìng)爭(zhēng)與認(rèn)為不完全競(jìng)爭(zhēng)就是兩條不同的“公理”。它們導(dǎo)出的“定理” 自然有所不同，但應(yīng)該爭(zhēng)論的是“公理”，而不應(yīng)是“定理”?！肮怼鄙系姆制缡怯^念問(wèn)題 因此，一般均衡存在定理雖然是劃分學(xué)派的重要標(biāo)準(zhǔn)，是經(jīng)濟(jì)自由主義與國(guó)家干預(yù)主義的分界線，但是在經(jīng)濟(jì)學(xué)中， 對(duì)市場(chǎng)出清定理的分歧．是源于公理上的分歧，集中體現(xiàn)了兩派在基本觀念上的分歧。

公理化方法的重要應(yīng)用之一是利用形式邏輯建立學(xué)科理論知識(shí)的關(guān)系。關(guān)于形式邏輯在會(huì)計(jì)基本理論發(fā)展中的作用,利奧·Ａ·施密特教授曾做過(guò)有益的探索。他提出, 演繹邏輯是“通過(guò)顯示討論中的某一現(xiàn)象是一種公認(rèn)判定的特定例證或應(yīng)用,從而形成結(jié)論的過(guò)程。公認(rèn)判定在專(zhuān)業(yè)上稱(chēng)為大前提,特征事實(shí)的表述則稱(chēng)為小前提?！倍?他還嘗試著列舉了三個(gè)會(huì)計(jì)方法中的大前提以及如何運(yùn)用三段論式的演繹方法表述存貨計(jì)價(jià)的方法。他在研究中將演繹的方法引入會(huì)計(jì)學(xué),具有一定的學(xué)術(shù)價(jià)值。但其中仍存在一些不足:他僅僅看到在會(huì)計(jì)師的日常工作中的確存在著一些觀念性的公認(rèn)的前提,而他們所做出的判定又往往是基于某種前提的暗示,但是對(duì)于這種暗示的實(shí)質(zhì)并沒(méi)有加以揭示。而且,他沒(méi)有具體解釋這些前提在會(huì)計(jì)基本理論結(jié)構(gòu)中的地位、作用以及理論本身發(fā)展所可能遵循的途徑。他的觀點(diǎn)還停留在對(duì)會(huì)計(jì)活動(dòng)的直觀感受上,而尚未將其與公理學(xué)以及數(shù)理邏輯的研究成果相結(jié)合,上升為一種系統(tǒng)化的理性熟悉,因此也沒(méi)能指出會(huì)計(jì)學(xué)演繹方法的本質(zhì)。