伯特蘭德模型是由法國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家約瑟夫·伯特蘭德(Joseph Bertrand)于1883年建立的。古諾模型和斯塔克爾伯格模型都是把廠商的產(chǎn)量作為競(jìng)爭(zhēng)手段，是一種產(chǎn)量競(jìng)爭(zhēng)模型，而伯特蘭德模型是價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)模型，

伯特蘭德模型的假設(shè)為：

（1）各寡頭廠商通過(guò)選擇價(jià)格進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng)；

（2）各寡頭廠商生產(chǎn)的產(chǎn)品是同質(zhì)的；

（3）寡頭廠商之間也沒(méi)有正式或非正式的串謀行為 。

伯特蘭德模型假定，當(dāng)企業(yè)制定其價(jià)格時(shí)，認(rèn)為其他企業(yè)的價(jià)格不會(huì)因它的決策而改變，并且n個(gè)（為簡(jiǎn)化，取n=2）寡頭企業(yè)的產(chǎn)品是完全替代品。A、B兩個(gè)企業(yè)的價(jià)格分別為P1、P2 ，邊際成本都等于C。

伯特蘭德模型之所以會(huì)得出這樣的結(jié)論，與它的前提假定有關(guān)。從模型的假定看至少存在以下兩方面的問(wèn)題：

①假定企業(yè)沒(méi)有生產(chǎn)能力的限制。如果企業(yè)的生產(chǎn)能力是有限的，它就無(wú)法供應(yīng)整個(gè)市場(chǎng)，價(jià)格也不會(huì)降到邊際成本的水平上。

②假定企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品是完全替代品。如果企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品不完全相同，就可以避免直接的價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)。

伯川德模型假設(shè)價(jià)格為策略性變量而更為現(xiàn)實(shí)，但是它所推導(dǎo)出的結(jié)果卻過(guò)于極端；但由于與現(xiàn)實(shí)不甚相符而遭到了很多學(xué)者的批評(píng)。這是我們?yōu)槭裁磳⑵浞Q之為伯川德悖論的主要原因。因此，學(xué)者們?cè)谘芯渴袌?chǎng)中企業(yè)的競(jìng)爭(zhēng)行為時(shí)，更多的是采用古諾模型，即用產(chǎn)量作為企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)的決策變量。

圖1反應(yīng)曲線與古諾均衡

假設(shè)雙寡頭面臨如下一條線性需求曲線：

P＝30-Q

其中，Q為兩廠商的總產(chǎn)量，即Q＝Q1+Q2。

再假設(shè)邊際成本為零，即：

MCl＝MC2＝0

廠商l的總收益TR1由下式給出：

TR1＝PQ1=(30一Q)Ql＝30Ql-(Q1)2-Q1Q2

廠商l的邊際收益MR1為：

MRl=30—2Q-Q2

利用利潤(rùn)最大化條件MRl＝MCl＝0，得廠商l的反應(yīng)函數(shù)(reaction function)為：

Ql=15—0．5Q2 (1—1)

同理可得廠商2的反應(yīng)曲線為：

Q2＝15-0.5Ql (1—2)

均衡產(chǎn)量水平就是兩個(gè)反應(yīng)曲線交點(diǎn)Q1和Q2的值，即方程組(1—1)式和(1—2)式的解，我們可以求得古諾均衡時(shí)的均衡產(chǎn)量水平為：Ql＝Q2=10。如圖2所示。

圖2雙寡頭的均衡

因此，在本例中，兩個(gè)寡頭的總產(chǎn)量Q為Q1+Q2=20，均衡價(jià)格為p＝30-Q=10。

剛才我們討論了兩寡頭廠商相互競(jìng)爭(zhēng)時(shí)的均衡產(chǎn)量。現(xiàn)在我們放寬不能串謀的假設(shè)，假定兩寡頭可以串謀，它們能共同確定產(chǎn)量以使總利潤(rùn)最大化。

這時(shí)，兩廠商的總收益TR為：

TR=PQ＝(30一Q)Q=30Q—Q2

其邊際收益MR為：

MR=30—2Q

根據(jù)利潤(rùn)最大化條件MR＝MC＝0，可以求得當(dāng)Q＝15時(shí)總利潤(rùn)最大。如果兩廠商同意平分利潤(rùn)，每個(gè)寡頭廠商將各生產(chǎn)總產(chǎn)量的一半，即Q1＝Q2＝7．5。其實(shí)，任何相加為15的產(chǎn)量Ql和Q2的組合都使總利潤(rùn)最大化，因此，把Q1+Q2＝15稱為契約曲線，而Ql=Q2=7.5是契約曲線上的一個(gè)點(diǎn)。如圖2所示。

我們還可以求得當(dāng)價(jià)格等于邊際成本時(shí)，Q1=Q2=15，各廠商的利潤(rùn)為零。

從3個(gè)均衡產(chǎn)量可以看到，競(jìng)爭(zhēng)性均衡時(shí)，廠商價(jià)格最低，產(chǎn)量最高，利潤(rùn)為零；串謀均衡時(shí)，廠商價(jià)格最高，產(chǎn)量最低，利潤(rùn)最高。

古諾模型和斯塔克爾伯格模型都是把廠商的產(chǎn)量作為競(jìng)爭(zhēng)手段，是一種產(chǎn)量競(jìng)爭(zhēng)模型，而伯特蘭德模型是價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)模型。在這種模型中，各寡頭廠商通過(guò)選擇價(jià)格進(jìn)行競(jìng)爭(zhēng)，而且各寡頭廠商生產(chǎn)的產(chǎn)品是同質(zhì)的，寡頭廠商之間也沒(méi)有正式或非正式的串謀行為。這一模型是由法國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家約瑟夫·伯特蘭德(Joseph Bertrand)于1883年建立的?，F(xiàn)在我們繼續(xù)使用上例的數(shù)據(jù)。設(shè)兩個(gè)寡頭構(gòu)成的總市場(chǎng)需求曲線為：

P＝30-Q其中Q＝Q1+Q2，與上例不同的是，現(xiàn)在兩個(gè)廠商有相同的、不為零的邊際成本，譬如：MC1＝MC2＝3

當(dāng)兩個(gè)寡頭廠商同時(shí)選擇產(chǎn)量時(shí)，利用上述古諾模型求解均衡產(chǎn)量的方法可以求得古諾均衡是Q1=Q2＝9，此時(shí)的市場(chǎng)價(jià)格為12元，每個(gè)廠商均獲利8l元。

不過(guò)，現(xiàn)在我們要確定的不是同時(shí)選擇產(chǎn)量時(shí)的均衡，而是雙方通過(guò)同時(shí)選擇價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)時(shí)的均衡狀態(tài)。由于產(chǎn)品是同質(zhì)的，消費(fèi)者將只會(huì)從低價(jià)格的廠商處購(gòu)買。一旦兩個(gè)寡頭定價(jià)不同，定高價(jià)的廠商將不能出售任何產(chǎn)品，而定低價(jià)的廠商則占據(jù)整個(gè)市場(chǎng)。因此這種情況將不會(huì)出現(xiàn)，這意味著兩寡頭廠商將定相同的價(jià)格，這樣對(duì)消費(fèi)者來(lái)說(shuō)，從哪個(gè)廠商購(gòu)貨都是無(wú)差別的。但是，最后具體的價(jià)格又是多少呢?現(xiàn)在假設(shè)兩個(gè)廠商競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果是價(jià)格都是高于3元的某個(gè)值，那么在這種情況下，任何一個(gè)廠商稍微降價(jià)它就將占領(lǐng)整個(gè)市場(chǎng)而另一個(gè)廠商將喪失所有的客戶；如果兩個(gè)廠商競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果是價(jià)格都低于3元的某個(gè)值，那么雙方都會(huì)虧損。只有當(dāng)雙方的價(jià)格都等于邊際成本3元時(shí)(P1＝P2＝3)，雙方再也沒(méi)有改變這一價(jià)格的動(dòng)力，此時(shí)市場(chǎng)的總產(chǎn)量為27個(gè)單位，假如雙方各供給市場(chǎng)一半，即每個(gè)廠商都生產(chǎn)13．5個(gè)單位，則雙方都沒(méi)有利潤(rùn)。在博弈論中，這種狀態(tài)稱為納什(Nash)均衡。這里的納什均衡也是一種完全競(jìng)爭(zhēng)的均衡：廠商產(chǎn)量由邊際成本等于邊際收益等于價(jià)格來(lái)確定，每個(gè)廠商的利潤(rùn)為零。

把伯特蘭德模型的完全競(jìng)爭(zhēng)均衡狀態(tài)與古諾模型的古諾均衡狀態(tài)相比可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)把競(jìng)爭(zhēng)策略選擇變量從古諾模型的產(chǎn)量改為伯特蘭德模型的價(jià)格時(shí)，每個(gè)廠商的產(chǎn)量從9單位增加到13．5單位，價(jià)格從12元降低為3元，利潤(rùn)從81元降為零。