金融數(shù)學(xué)又稱分析金融學(xué)、數(shù)理金融學(xué)、數(shù)學(xué)金融學(xué)，是20世紀(jì)80年代末、90年代初興起的數(shù)學(xué)與金融學(xué)的交叉學(xué)科。金融數(shù)學(xué)主要運用現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論和方法(如:隨機分析、隨機最優(yōu)控制、組合分析、非線性分析、多元統(tǒng)計分析、數(shù)學(xué)規(guī)劃、現(xiàn)代計算方法等)對金融(除銀行功能之外,還包括投資、債券、基金、股票、期貨、期權(quán)等金融工具和市場)的理論和實踐進行數(shù)量的分析研究。其核心問題是不確定條件下的最優(yōu)投資策略的選擇理論和資產(chǎn)的定價理論。套利,最優(yōu)和均衡是其中三個主要概念。近二十幾年來，金融數(shù)學(xué)不僅對金融工具的創(chuàng)新和對金融市場的有效運作產(chǎn)生直接的影響，而且對公司的投資決策和對研究開發(fā)項目的評估(如實物期權(quán))以及在金融機構(gòu)的風(fēng)險管理中得到廣泛應(yīng)用。

金融數(shù)學(xué)的歷史可以追溯到1900年法國數(shù)學(xué)家巴謝利耶的博士論文《投機的理論》,這宣告了金融數(shù)學(xué)的誕生。在文中他首次用布朗運動來描述股票價格的變化，他認(rèn)為在資本市場中有買有賣，買者看漲、賣者看跌，其價格的波動是布朗運動其統(tǒng)計分布是正態(tài)分布。然而，巴謝利耶的工作沒有引起金融學(xué)界的重視達50多年。20世紀(jì)50年代初，薩繆爾森通過統(tǒng)計學(xué)家薩維奇重新發(fā)現(xiàn)了巴謝利耶的工作，這標(biāo)志了現(xiàn)代金融學(xué)的開始。現(xiàn)代金融學(xué)隨后經(jīng)歷了兩次主要的革命，第一次是在1952年。那年，25歲的馬爾柯維茨發(fā)表了他的博士論文，提出了資產(chǎn)組合選擇的均值方差理論。它的意義是將原來人們期望尋找“最好”股票的想法引導(dǎo)到對風(fēng)險和收益的量化和平衡的理解上來。給定風(fēng)險水平極大化期望收益，或者給定收益水平極小化風(fēng)險，這就是上述均值方差理論的主要思想。稍后，夏普和林特納進一步拓展了馬爾柯維茨的工作，提出了資本資產(chǎn)定價模型(簡稱CAPM),緊接著米勒提出了公司財務(wù)理論（MM理論）引發(fā)了第一次“華爾街革命”，是金融數(shù)學(xué)的開端。馬爾柯維茨和夏普也因他們金融數(shù)學(xué)中的開創(chuàng)性貢獻而獲得1990年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。

1973年，布萊克和斯克爾斯用數(shù)學(xué)方法給出了期權(quán)定價公式，以及稍后，莫頓對該公式的發(fā)展和深化，期權(quán)定價公式給金融交易者和銀行家在衍生金融資產(chǎn)的交易中帶來了便利，推動了期權(quán)交易的發(fā)展，期權(quán)交易很快成為世界金融市場的主要內(nèi)容，成為第二次“華爾街革命”。

兩次“革命”避開了一般經(jīng)濟均衡的理論框架，形成了一門新興的交叉學(xué)科，即金融數(shù)學(xué)。馬爾科維茨夏普理論和布萊克一修斯公式一起構(gòu)成了蓬勃發(fā)展的新學(xué)科——金融數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，同時也是研究新型衍生證券設(shè)計的新學(xué)科——金融工程的理論基礎(chǔ)，從而使這兩次革命的先驅(qū)者分別在1990年和1997年獲得了諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。美國經(jīng)濟學(xué)家羅伯特·恩格爾和英國經(jīng)濟學(xué)家克萊夫·格蘭杰對時間序列理論在經(jīng)濟和金融的研究中取得重要成果，也于2003年獲得諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎，可以認(rèn)為這是金融數(shù)學(xué)的研究第三次獲得諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎。金融數(shù)學(xué)這門新興的交叉學(xué)科已經(jīng)成為國際金融界的一枝奇葩。

在現(xiàn)代金融數(shù)學(xué)理論中,各種各樣的金融經(jīng)濟學(xué)模型占據(jù)著中心地位。其中至今仍有重大影響的成果有:有效率的市場理論、證券組合理論、資本資產(chǎn)定價模型、套利定價理論、期權(quán)定價方程和資產(chǎn)結(jié)構(gòu)理論等。

1.有效的市場理論

市場的有效性這一概念起源于本世紀(jì)法國人Bachelier的研究,他的貢獻是很大的,但是他的工作到近20年才日益被人認(rèn)識到。他首次運用布朗運動模型來導(dǎo)出期權(quán)公式是在1900年,市場有效性的起源也正是在那個時候。然而市場有效性與信息相聯(lián)系,確實是近幾十年來的工作。Fama指出價格完全反映了可以使用的信息時,這個市場才能被稱為是有效的;把一些信息進行交易時并不能產(chǎn)生經(jīng)濟效益,那么市場對這些信息就是有效的。但是市場是有套還是無套,是高效還是低效,不是非此即彼的問題,而是程度問題。

有效的市場假設(shè)一直是激烈爭論的問題之一,學(xué)者們進行了無數(shù)次的理論研究和實證考察,對有效的市場理論的邏輯基礎(chǔ)提出疑義:一方面市場的有效性是投機和套利的產(chǎn)物,而投機和套利都是有成本的活動;另一方面,因為市場是有效的,所以投機和套利是得不到回報的,這些活動就會停止,而一旦停止了投機和套利活動,市場又怎么能繼續(xù)有效呢?無疑,投機和套利活動使得價格更為有效.正是這一矛盾統(tǒng)一體的不斷變化,才使市場呈現(xiàn)出統(tǒng)計上的周期性變化。

2.證券組合理論

證券金融市場的風(fēng)險管理是個永恒的話題,投資者都想尋求收益回報,但又必須面對各種各樣的可能損失,市場到底存在哪些風(fēng)險,如何確定風(fēng)險的大小,如何才能實現(xiàn)收益最大化和風(fēng)險最小化,歷來都是人們關(guān)注的焦點和難點。人們發(fā)現(xiàn),投資者手中持有各種不同風(fēng)險的證券即投資組合,可以減輕各種風(fēng)險帶來的損失。自從1952年美國學(xué)者馬克維茨運用概率論和規(guī)劃論的方法創(chuàng)立證券組合理論以來,市場風(fēng)險的神秘色彩逐漸淡化,不再變得那么可怕和不可駕馭。

馬克維茨組合理論的立足點是全面考慮期望收益最大和不確定性(即風(fēng)險)最小。它通過總結(jié)投資損失的概率分布和可能收益的偏差程度(即統(tǒng)計學(xué)上的方差),發(fā)現(xiàn)投資者應(yīng)該同時按適當(dāng)比例購買各種證券而不是一種證券,進行分散化投資,其收益才盡可能是確定的.通過數(shù)量分析得出的這種結(jié)論,迎合了投資者規(guī)避風(fēng)險的需要。隨著量化研究的不斷深入,組合理論及其實際運用方法越來越完善,成為現(xiàn)代投資學(xué)中的交流工具。但馬克維茨組合理論中的許多假設(shè)條件無法滿足,使其在現(xiàn)實中失效。為了克服這一困難,后來發(fā)展了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的證券優(yōu)化算法。

3.資本資產(chǎn)定價模型(CAPM)

馬克維茨組合理論解決了理論投資者的最優(yōu)投資決策問題——如何確定投資比例.進一步要問:在資本市場達到均衡時,或所有投資者的投資行為均與現(xiàn)代組合理論描述的一致時,資本的收益如何確定,資產(chǎn)的收益如何決定,資產(chǎn)收益的風(fēng)險如何測定,以及任意一種資產(chǎn)的期望收益與風(fēng)險之間的函數(shù)關(guān)系是什么?夏普、林特納和英辛在一系列理想假設(shè)條件基礎(chǔ)下提出了一種新的選擇證券組合的方法,即資本資產(chǎn)定價模型,克服了馬克維茨模型選擇證券組合需要大量而復(fù)雜的計算的不足.CAPM的意義之一是,他建立了證券收益和風(fēng)險的關(guān)系,揭示了證券風(fēng)險報酬的內(nèi)部結(jié)構(gòu),即風(fēng)險報酬是影響證券收益的風(fēng)險貼水的線性組合。而各相關(guān)因素的風(fēng)險貼水是證券市場對風(fēng)險的報酬,它們只與各個影響因素有關(guān),與單個證券無關(guān).CAPM建立了單個證券的收益市場資產(chǎn)組合和收益之間的數(shù)量關(guān)系.CAPM的另一個重要意義在于它把證券的風(fēng)險分成了系統(tǒng)風(fēng)險和非系統(tǒng)風(fēng)險。

資本資產(chǎn)定價模型一直是大量的實證研究的基礎(chǔ)。總的來講,這些實證研究表明,資本資產(chǎn)定價模型可為金融市場的收益結(jié)構(gòu)提供相當(dāng)好的初步近似。

4.套利定價理論(APT)

資本資產(chǎn)定價模型刻畫了在資本市場達到均衡時資產(chǎn)收益的決定機制,但他基于眾多的假設(shè),且其中的一些假設(shè)常與現(xiàn)實不符;在檢驗CAPM時,難以得到真正的市場組合.更重要的是一些經(jīng)驗結(jié)果與CAPM相悖.有些現(xiàn)象如小公司現(xiàn)象很難用CAPM來解釋,這樣就更激勵人們?nèi)ソ⑿碌馁Y本市場均衡理論.1970年羅斯提出了一種新的資本資產(chǎn)均衡模型——套利定價模型。該模型認(rèn)為風(fēng)險可由多個因素產(chǎn)生,不僅僅是一個市場因素.尤其是他對風(fēng)險態(tài)度的假設(shè)比CAPM更為寬松,因此也更為接近現(xiàn)實.APT的核心是假設(shè)不存在套利機會.套利機會是指在無風(fēng)險又無資本的情況下就可以從投資中獲取利益的機會.在這種情況下,證券的預(yù)期收益與風(fēng)險因素呈現(xiàn)近似線性關(guān)系.因此可以說APT在更加廣泛的意義上建立了證券收益與宏觀經(jīng)濟中其他因素的聯(lián)系,為證券走勢分析提供了比CAPM更好的擬合。

5.期權(quán)定價模型

1973年,布萊克和斯科爾斯發(fā)表了題為《期權(quán)價格和公司負(fù)債》一文,提出了有始以來第一個期權(quán)定價模型,在學(xué)術(shù)界和實務(wù)界引起了強烈反響.在那篇突破性的論文中,他們成功求解隨機微分方程,利用市場的套利條件,導(dǎo)出到期月以前的期權(quán)價格的精確公式。

布萊克和斯科爾斯的期權(quán)定價模型的推導(dǎo)建立在6個假設(shè)基礎(chǔ)上:沒有交易成本、稅收限制;無風(fēng)險收益率是常量;股票不付股息;標(biāo)的資產(chǎn)的隨機價格服從幾何布朗運動;對于貿(mào)易市場是連續(xù)開放的;期權(quán)是歐式的.該模型表明:期權(quán)的價格是期權(quán)商品市場價格、商品市場價格的波動、期權(quán)執(zhí)行價格距到期日時間的長短以及安全利息率的函數(shù)。自從布萊克和斯科爾斯的論文發(fā)表以后,由默頓、考克斯、魯賓斯坦等一些學(xué)者相繼對這一理論進行了重要的推廣并得到廣泛的應(yīng)用。期權(quán)定價模型可用來制定各種金融衍生產(chǎn)品的價格,是各種衍生產(chǎn)品估價的有效工具。期權(quán)定價模型為西方國家金融創(chuàng)新提供了有利的指導(dǎo),是現(xiàn)代金融理論的主要內(nèi)容之一。

6.資產(chǎn)結(jié)構(gòu)理論

在現(xiàn)代金融理論中,公司的資產(chǎn)結(jié)構(gòu)理論(也稱為MM定理)與有效市場理論和資產(chǎn)組合理論幾乎是在同一時期發(fā)展起來的具有同等重要地位的成果.在這個定理中,假設(shè)公司的投資政策和金融政策是相互獨立的,銀行利率等于債券利率,個人借貸和企業(yè)借貸是充分替代的;沒有企業(yè)和個人所得稅及破產(chǎn)風(fēng)險;企業(yè)和投資者具有同等的投資機會及邊際成本和機會成本;資本市場充分有效運行,則公司的資本結(jié)構(gòu)與公司的市場價值無關(guān),亦即企業(yè)的資本結(jié)構(gòu)選擇不影響公司的市場價值.MM定理的條件是非常苛刻的,正是因為這些假設(shè)抽象掉了大量的現(xiàn)實東西,從而揭示了企業(yè)金融決策中最本質(zhì)的東西——企業(yè)經(jīng)營者和投資者行為及其相互作用。該定理公開發(fā)表以后,一些經(jīng)濟學(xué)家又對這一定理采用不同的方法從不同的角度作了進一步證明。其中最著名的有Hamda用資本定價模型進行了再證明,還有Stiglize用一般均衡理論作了再證明,結(jié)論都與MM定理是相一致的。

證券投資的直接目的是獲取收益,避免損失.而投資者在進行投資之前必須根據(jù)事先掌握的信息對各種證券進行分析預(yù)測,這實質(zhì)上是一個證券投資決策問題.關(guān)于證券投資決策的研究通?？煞譃閮深?第一類是選擇哪一些證券及其數(shù)量多少的問題,即靜態(tài)投資組合問題,其具有奠基性的理論是前面提到的馬克維茨組合投資理論,具有代表性的方法有線性規(guī)劃方法、二次規(guī)劃方法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法等;第二類是在什么時間買賣多少證券的問題,即動態(tài)隨機控制問題.這類問題是近幾年研究的熱點之一,所使用的研究方法主要有隨機最優(yōu)控制方法、H控制方法和微分對策方法。自從Pratt等經(jīng)濟學(xué)家引入風(fēng)險規(guī)避系數(shù)概念以來,研究帶有風(fēng)險規(guī)避的投資決策尚不多,而現(xiàn)實中的投資者大部分是風(fēng)險規(guī)避者,只是風(fēng)險規(guī)避程度不同而已,因此,研究風(fēng)險規(guī)避投資者的行為更具有特別重要的意義。

（一）鞅理論

現(xiàn)代金融理論最新的研究成果是鞅理論的引入。在市場是有效的假定下，證券的價格可以等價于一個鞅隨機過程。由鞅方法直接把鞅理論引入到現(xiàn)代金融理論中，利用等價鞅測度的概念研究衍生證券的定價問題，得到的結(jié)果不僅能深刻揭示金融市場的運行規(guī)律，而且可以提供一套有效的算法，求解復(fù)雜的衍生金融產(chǎn)品的定價與風(fēng)險管理問題。

利用鞅理論研究金融理論的另一個好處是它能夠較好地解決金融市場不完備時的衍生證券定價問題，從而使現(xiàn)代金融理論取得了突破性的進展。目前基于鞅方法的衍生證券定價理論在現(xiàn)代金融理論中占主導(dǎo)地位，但在國內(nèi)還是一個空白。

（二）最優(yōu)停時理論

最優(yōu)停時理論是概率論中一個具有很強應(yīng)用背景的領(lǐng)域，他的蓬勃發(fā)展是60年代以后的事。近幾年，在國內(nèi)也有一些學(xué)者開始熱心這一領(lǐng)域的研究，而且取得了可喜的成果。運用最優(yōu)停時理論研究了具有固定交易費用的證券投資決策問題，給出了具有二個風(fēng)險證券的投資決策問題一種簡化算法。

（三）隨機最優(yōu)控制理論

隨機最優(yōu)控制理論是在上世紀(jì)60年代末在控制理論中應(yīng)用布爾曼的最優(yōu)化原理,并結(jié)合測度論和泛函分析方法發(fā)展起來的解決隨機問題的理論方法。國外的研究者很快就把隨機最優(yōu)控制理論運用到相關(guān)的研究中來。從上世紀(jì)70年代初開始,默頓運用該理論對連續(xù)時間最優(yōu)消費投資問題進行研究。脈沖最優(yōu)控制理論是在克服連續(xù)最優(yōu)控制理論不足的背景下產(chǎn)生的,這是因為連續(xù)型的假設(shè)下交易非但有界而且還是連續(xù)變化的,這與證券投資的實際環(huán)境存在很大差距。在我國,彭實戈在倒向隨機微分方程上獲得了突破性研究,直到今天還在這一方面居于國際前沿。

（四）微分對策理論

金融市場的實際環(huán)境并不符合穩(wěn)態(tài)假設(shè),當(dāng)出現(xiàn)異常波動時,證券價格并不符合幾何布朗運動.此時,用隨機動態(tài)模型研究投資組合問題不論從方法上還是從實際上來說都存在著很大的偏差.運用微分對策理論不僅可以放寬對市場穩(wěn)態(tài)的假設(shè),還可以把不確定性擾動做為敵對方,針對最差的一方加以優(yōu)化,從而得到“魯棒性”很強的決策.同時,求解微分對策的布爾曼方程是一階偏微分方程,比求解隨機最優(yōu)控制下的二階偏微分方程簡單?？梢?運用微分對策理論研究金融問題前景很廣闊,而且研究重復(fù)對策、隨機對策、多人對策理論在投資決策問題中更是值得重視的研究課題。

(五)其他智能化方法及實證方法

信息技術(shù)的迅速發(fā)展為金融數(shù)學(xué)的研究帶來了新的方法.遺傳算法、模擬退火算法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、小波分析等計算方法和金融學(xué)傳統(tǒng)方法結(jié)合起來,在風(fēng)險控制和投資決策領(lǐng)域均取得了很好的成果,國內(nèi)的研究比如譚華、謝赤等。實證研究就是從金融市場現(xiàn)實中取得數(shù)據(jù),分析數(shù)據(jù)并建模型,然后揭示數(shù)據(jù)背后隱含的規(guī)律,最后返回數(shù)據(jù)和現(xiàn)實中檢驗結(jié)論的正確性.當(dāng)今的研究越來越趨向?qū)嵶C研究,結(jié)論的好與壞在實際的檢驗下才能得到最終的驗證。

歷史上對金融經(jīng)濟描述的模型主要有兩類。一類是牛頓的決定論模型,即給定初始條件或狀態(tài)時金融經(jīng)濟的運行行為完全確定。一類是布朗的隨機游走模型。這兩種模型的金融狀態(tài)可以說是相互對立.近30年來,金融學(xué)界分成兩派:一派是技術(shù)分析型學(xué)者,相信市場遵循某種規(guī)律而循環(huán);另一派是定量分析型學(xué)者,認(rèn)為市場不存在周期性循環(huán)。最近,學(xué)者們運用從物理學(xué)中開發(fā)出來的方法分析非線性系統(tǒng),認(rèn)識到真實的情況應(yīng)該是二者兼而有之.這樣,金融數(shù)學(xué)界現(xiàn)在至少面臨4個問題亟待解決.第一,對金融經(jīng)濟的變與動的直覺三性,即隨機性、模糊性、混沌性進行綜合分析,來確定從彼到此的過渡條件、轉(zhuǎn)換機制、演變過程、本質(zhì)特征、產(chǎn)生結(jié)果以及人們所采用的相應(yīng)經(jīng)濟對策,尤其是貨幣政策.第二,對以貨幣信用為核心的貨幣需求量、貨幣供給量、金融資金流向與流量進行綜合分析,給出貨幣均衡和非均衡的合理界定和合理模型,為改善社會總量平衡關(guān)系對財政、金融、物質(zhì)、外匯的四大平衡提供依據(jù).第三,對利率、匯率、保率甚至稅率和物價綜合指數(shù)進行綜合分析,為制定合理的三率體系提供符合實際的模型.第四,對生產(chǎn)力要素的選擇或部門資源配置,綜合金融經(jīng)濟指標(biāo)為研究對象的三觀(微觀、中觀、宏觀)進行綜合分析,以便將其成果更充分、更廣泛地運用于金融經(jīng)濟領(lǐng)域。

（一）新問題越來越多

金融數(shù)學(xué)模型都是在很多假設(shè)的條件下才能成立,這些假設(shè)有些與客觀現(xiàn)實有一定差距甚至抵觸,因而解決這類問題就不理想,范圍也十分狹窄,需要在數(shù)學(xué)上改進和發(fā)展。世界各國金融背景和管理模式各異,需要大量建立符合自己國情的金融模型和分析方法,例如CAPM適合歐式期權(quán)不適合美式期權(quán)。即使假設(shè)比較合理,由于金融環(huán)境和社會需求不斷發(fā)生變化以及創(chuàng)新運動的發(fā)展,為金融理論和金融數(shù)學(xué)提出了越來越多的問題,要求我們不斷進行探索。

（二）實證研究成為主要方向

所謂實證研究主要是強調(diào)了數(shù)據(jù)的重要性,即從金融市場現(xiàn)實中取得數(shù)據(jù),分析數(shù)據(jù)并建立數(shù)學(xué)模型,然后揭示數(shù)據(jù)背后隱含的規(guī)律,最后返回數(shù)據(jù)和現(xiàn)實中檢驗結(jié)論的正確性。如果離開實際數(shù)據(jù)的支持和檢驗,單純從概念到概念(即文科研究人員習(xí)慣的定性分析),或者單純從模型到模型(即理科研究人員習(xí)慣的邏輯推理),這很難深刻地、客觀地揭示金融市場的發(fā)展規(guī)律。

（三）金融數(shù)學(xué)的方法展望

金融系統(tǒng)由于非線性、不確定性而成為復(fù)雜系統(tǒng),為金融數(shù)學(xué)提出了較高的要求,尤其金融市場的特性:波動性、突發(fā)事件、市場不完全、信息不對稱等成為金融數(shù)學(xué)當(dāng)前面臨的重要課題。金融市場上的波動現(xiàn)象一般可歸結(jié)為隨機的問題,像幾何布朗運動,然后進行隨機分析。但是金融市場多數(shù)情況下并不滿足穩(wěn)定的假設(shè),時常出現(xiàn)異常的波動。近些年來的最新研究成果自回歸條件異方差模型可以較好的派上用場。

突發(fā)事件是小概率事件,一般的隨機分析不能解釋重大的金融震蕩,例如1987年“黑色星期一”西方的金融崩潰。分形理論可以解釋股票如何瘋長和暴跌,起源于海岸線形狀和宇宙星系描述的分形理論是本世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)成就之一。另外還有突變理論和沖擊理論也在金融理論中得到應(yīng)用。不完全市場是指市場受到各種限制而不完備,如不允許賣空買空股票等。解決這類問題,除了Duffie的不完全市場的一般均衡理論之外,Karatzas等人引入的鞅理論能夠很好地解決金融市場不完備時的衍生證券定價問題,目前國外基于鞅方法的定價理論在金融理論中占主導(dǎo)地位。信息不對稱表現(xiàn)為經(jīng)濟人掌握的信息不一樣。信息不對稱條件下的相互對策在數(shù)學(xué)上處理是相當(dāng)困難的。但是微分對策、重復(fù)對策、隨機對策、多人對策理論在金融研究中得到深入的探索和發(fā)展,有著較好的發(fā)展前程。金融數(shù)學(xué)建立在金融學(xué)和數(shù)學(xué)之上,而統(tǒng)計和計算機已是它須臾不可離開的主要工具。

金融與數(shù)學(xué)的結(jié)合越來越引起國際金融界和數(shù)學(xué)界的關(guān)注。金融數(shù)學(xué)也已經(jīng)開始在我國得到了越來越廣泛的重視。所以更應(yīng)鼓勵數(shù)學(xué)系學(xué)生去考經(jīng)濟金融研究生；增加經(jīng)濟和金融專業(yè)數(shù)學(xué)內(nèi)容(而不是減少)，鼓勵專家學(xué)者“下?！?，以形成高素質(zhì)的新型企業(yè)家、銀行家集團，為我國的金融體制改革，以及我國金融市場與國際金融市場接軌、參與國際金融市場競爭，做出應(yīng)有的貢獻。