套利定價理論

1.套利定價理論概述

套利定價理論APT(Arbitrage Pricing Theory) 是CAPM的拓廣,由APT給出的定價模型與CAPM一樣,都是均衡狀態(tài)下的模型,不同的是APT的基礎(chǔ)是因素模型。

套利定價理論認為，套利行為是現(xiàn)代有效率市場（即市場均衡價格）形成的一個決定因素。如果市場未達到均衡狀態(tài)的話，市場上就會存在無風(fēng)險套利機會. 并且用多個因素來解釋風(fēng)險資產(chǎn)收益，并根據(jù)無套利原則，得到風(fēng)險資產(chǎn)均衡收益與多個因素之間存在(近似的)線性關(guān)系. 而前面的CAPM模型預(yù)測所有證券的收益率都與唯一的公共因子(市場證券組合)的收益率存在著線性關(guān)系。

2.套利定價理論的意義

套利定價理論導(dǎo)出了與資本資產(chǎn)定價模型相似的一種市場關(guān)系。套利定價理論以收益率形成過程的多因子模型為基礎(chǔ)，認為證券收益率與一組因子線性相關(guān)，這組因子代表證券收益率的一些基本因素。事實上，當(dāng)收益率通過單一因子(市場組合)形成時，將會發(fā)現(xiàn)套利定價理論形成了一種與資本資產(chǎn)定價模型相同的關(guān)系。因此，套利定價理論可以被認為是一種廣義的資本資產(chǎn)定價模型，為投資者提供了一種替代性的方法，來理解市場中的風(fēng)險與收益率間的均衡關(guān)系。套利定價理論與現(xiàn)代資產(chǎn)組合理論、資本資產(chǎn)定價模型、期權(quán)定價模型等一起構(gòu)成了現(xiàn)代金融學(xué)的理論基礎(chǔ)。

3.套利定價理論的基本機制

套利定價理論的基本機制是：在給定資產(chǎn)收益率計算公式的條件下，根據(jù)套利原理推導(dǎo)出資產(chǎn)的價格和均衡關(guān)系式。ＡＰＴ作為描述資本資產(chǎn)價格形成機制的一種新方法，其基礎(chǔ)是價格規(guī)律：在均衡市場上，兩種性質(zhì)相同的商品不能以不同的價格出售。套利定價理論是一種均衡模型，用來研究證券價格是如何決定的。它假設(shè)證券的收益是由一系列產(chǎn)業(yè)方面和市場方面的因素確定的。當(dāng)兩種證券的收益受到某種或某些因素的影響時，兩種證券收益之間就存在相關(guān)性。

4.套利定價理論的模型[1]

一、因素模型（factor models）

　　套利定價理論的出發(fā)點是假設(shè)證券的回報率與未知數(shù)量的未知因素相聯(lián)系。

　　因素模型是一種統(tǒng)計模型。套利定價理論是利用因素模型來描述資產(chǎn)價格的決定因素和均衡價格的形成機理的。這在套利定價理論的假設(shè)條件和套利定價理論中都清楚的體現(xiàn)出來。

　　線性多因素模型的一般表達為:

　　 $r_i=a_i+sum^k_{j=1}b_{ij}F_j+epsilon_i,i=1,2,cdots,N$ 　　(1)

　　或

　　r = a + B * F + ε　　(2)

　　其中:

代表N種資產(chǎn)收益率組成的列向量.

　　 $F=(F_1,cdots,F_K)^T$ 代表K種因素組成的列向量

　　是常數(shù)組成列向量

　　是因素j對風(fēng)險資產(chǎn)收益率的影響程度,稱為靈敏度(sensitivity)/因素負荷(factor loading). 組成靈敏度矩陣.

　　是隨機誤差列組成的列向量.

　　并要求:

　　 $E(epsilon_i)=0,1le ile N$ 　　(3)

　　定義：對于一個有N個資產(chǎn),K種因素的市場,如果存在一個證券組合 $w_p=(w_{pl},cdots,w_{pN})^T$ ,使得該證券組合對某個因素有著單位靈敏度,而對其他因素有著零靈敏度. 那么該證券組合被稱為純因素證券組合.

　　該組合對于的總收益率:

　　　　(4)

　　構(gòu)造純因素證券組合時,不妨設(shè)第一個因素為純因素,于是構(gòu)造轉(zhuǎn)換成解線性方程:

　　 $B^Tw_p=begin{bmatrix}1?end{bmatrix},l^Tw_p=1$ 　　(5)

　　進而:

　　 $E(mathbf{r}_p)=mathbf{w}_p^Tmathbf{a}+E(F_1)equiv r_f+lambda$ (6)

　　其中:r_f是無風(fēng)險收益率,λ每單位靈敏度的某因素的預(yù)期收益溢價.

　　由式(5)可見純因素證券組合不只一種，那么這些不同的證券組合，是否會產(chǎn)生同樣的期望收益呢？答案是肯定的，這就涉及到無套利均衡。

二、無套利均衡（no arbitrage equilibrium）

　　套利和無套利是現(xiàn)代金融的最基本的概念之一.

　　定義: 套利機會(Arbitrage Opportunity)

　　存在一個交易策略

,滿足以下4個條件:

　　1)不需要任何投入,自我融資(self-financing)

　　l^Tw_A = 0　　(7)

　　2)對所有因素風(fēng)險完全免疫

　　B^Tw_A = 0　　(8)

　　3)對所有非因素風(fēng)險完全免疫

　　 $W^T_Aepsilon=0$ 　　(9)

　　4)當(dāng)資產(chǎn)數(shù)目足夠多時,期末可以獲得無風(fēng)險收益

　　　　(10)

　　無套利原理:在市場均衡時刻，不存在任何套利機會.

　　無套利原理已經(jīng)成為了現(xiàn)代金融學(xué)的基本假設(shè),今后的微觀金融學(xué)筆記將會反復(fù)討論這個概念

5.套利定價理論假設(shè)[1]

　假設(shè)一:無摩擦的市場.

　　假設(shè)二:無操縱市場.

　　假設(shè)三: 無制度限制.

　　這些關(guān)于理想化資本市場的三個假定與資本資產(chǎn)定價模型中的要求是一致的.

　　假設(shè)四: 資產(chǎn)收益由因素模型決定.

　　假設(shè)五: 同質(zhì)預(yù)期

　　假設(shè)六: 市場上存在無風(fēng)險資產(chǎn)

　　假設(shè)七: 滿足無套利原理

　　定理:(套利定價)假定風(fēng)險資產(chǎn)收益滿足上面的因素模型,并且不存在套利機會.則存在使得下式成立:

　(11)

　　　　(12)

　　這里就不給具體證明,后面的筆記中將會提及更一般的資本資產(chǎn)定價理論.

　　證明思路:

　　試圖構(gòu)造一個套利組合 $w_A=(w_{Ai},cdots,w_{AN})^T$ .該組合自然首先要滿足:

　　式(7),式(8),式(9)

　　再考慮式(10)對應(yīng)的逆命題對應(yīng)(就是無套利原理):

　　即

　　 $lim_{Nto infty}(w_A^Ta)=0$ 　　(13)

　　如果式(7),式(8),式(13)同時成立,表明當(dāng)時:

　　l(列向量),B(K個列向量),a(列向量)都和w_A正交.

　　根據(jù)線性代數(shù)里的結(jié)論我們知道:

　　a可以表示為[1　B]這(K+1)個列向量的線性組合.

　　即,當(dāng)時,存在 $lambda_0,lambda_1,cdots,lambda_K$ :

　　　　(14)

6.套利定價理論的檢驗[2]

1．羅爾(Roll)和羅斯的實證研究

與資本資產(chǎn)定價模型一樣，套利定價理論也面臨著實證檢驗的問題。Gehr(1975)、Roll and Ross(1980)、Reinganum(1981)以及Chen(1983)用紐約證券交易所和美國證券交易所上市股票的Et回報率數(shù)據(jù)對APT進行了檢驗，他們的檢驗步驟大致如下：

(1)首先對所有股票進行分組。

(2)收集一組股票的日回報率數(shù)據(jù)，并根據(jù)每只股票的回報率計算出該組股票的方差和協(xié)方差矩陣。

(3)運用最大似然因子分析法，確定影響收益率變化的因子個數(shù)以及因子載荷 $b i j$ 。

(4)用估計出的 $b i j$ 來解釋不同股票期望收益率在橫截面上的差異，進而估計出每個因子相應(yīng)的風(fēng)險溢價及其顯著性。

(5)對每一組股票重復(fù)2～4步。

以Roll and Ross(1980)為例，該文利用1962年7月3日至1972年12月31日在NYSE和AMEX上市的1 260只股票的收益率數(shù)據(jù)對APT進行了檢驗。他們首先將這1 260只股票按照字母順序進行分組，每組包括30只股票，然后針對每一組分別運行上述4個步驟。該文的分析結(jié)果表明，至少有三個因子的風(fēng)險溢價顯著不等于零，這說明確實存在著影響所有資產(chǎn)收益率變化的不同因素。在APT的檢驗過程中，我們還要關(guān)注另一個參數(shù)——截距項 $λ 0$ 。根據(jù)APT， $λ 0$ 應(yīng)該等于無風(fēng)險利率，當(dāng)我們分別對每一組股票進行估計的時候，該指標應(yīng)該是相等的。羅爾和羅斯的研究發(fā)現(xiàn)，在全部42組資產(chǎn)組合中，有38組沒有跡象表明k之間存在差異，這與APT的預(yù)測是吻合的。因此，從以上兩個結(jié)論上看，我們沒有理由拒絕套利定價理論。

然而，用因子分析法檢驗APT時存在一個缺點，那就是該方法無法告訴我們具體的因子是什么。這樣一來，如果其他一些非系統(tǒng)性風(fēng)險因素，如單個股票收益率的方差、公司規(guī)模以及資產(chǎn)上一期的收益率能夠顯著地解釋資產(chǎn)的期望回報率，我們同樣無法拒絕APT。為了防止這種偏差的出現(xiàn)，Roll and Ross(1980)進一步考察了股票收益率的方差對估計出的期望收益率的解釋能力，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，加入方差后對期望收益率的解釋能力沒有任何增加。與此同時，Chen(1983)運用了與Roll and Ross(1980)不同的方法也得出了相同的結(jié)論，而且該文還發(fā)現(xiàn)，資產(chǎn)上一期的回報率對本期的期望回報率也沒有顯著的解釋能力。但是，對于公司規(guī)模指標，大家的結(jié)論并不一致。按照APT的預(yù)測，如果因子載荷在時間維度上是平穩(wěn)的，那么按照市值對上市公司進行分組后，不同組的超額收益率應(yīng)該有相同的均值。然而，Reinganum(1981)卻發(fā)現(xiàn)不同組間的超額收益率存在顯著差異。這表明APT檢驗中得到的風(fēng)險溢價不等于零的因子可能是由公司規(guī)模造成的，因而APT就有可能被拒絕。然而，Chen(1983)的研究卻發(fā)現(xiàn)，公司規(guī)模的引入并沒有增加模型對期望回報率的解釋能力。

雖然從數(shù)學(xué)上很難通過因子分析去識別影響證券收益的背后因素，但Chen、Roll and Ross(1983)卻給出了一組能夠廣泛反映宏觀經(jīng)濟的因素。這些因素包括行業(yè)產(chǎn)出指數(shù)、非預(yù)期通貨膨脹、違約風(fēng)險溢價的變化(用AAA級公司債券與BBB級公司債券到期收益率的差值衡量)、利率期限結(jié)構(gòu)的意外變化(用長期政府債券和短期政府債券的到期收益率的差值衡量)。這樣一來，我們就可以得出證券收益四因素模型：

r i j = α i + β i I P I P t + β i U I U I t + β i C G C G t + β i G B G B t + e i t

2．法馬和弗倫奇的三因素模型

在資本資產(chǎn)定價模型和套利定價模型誕生之后，學(xué)者逐漸發(fā)現(xiàn)公司自身的一些特征對股票的收益率具有一定的解釋能力。這些特征除了前面所說的公司規(guī)模之外，還有公司現(xiàn)金流量與股價比、賬面價值與股價比、企業(yè)的銷售收人增長率等。這些因素與公司承擔(dān)的系統(tǒng)性風(fēng)險并沒有直接的關(guān)系，因此，它們對股價的解釋能力在很大程度上是對資本資產(chǎn)定價模型以及套利定價理論的一種違背。對此，法馬和弗倫奇在1992—1996年間用了一系列的文章來解釋這一現(xiàn)象。

Fama and French(1992)考察了β值、公司規(guī)模、市盈率、負債率、賬面市值比五個因素對股票收益率的影響，結(jié)果發(fā)現(xiàn)如下兩個結(jié)論：①無論是對β值進行單獨回歸還是與其他因素一起進行聯(lián)合回歸，β值對平均收益的影響都很小。②用β值之外的四個因素對收益率進行單變量回歸，結(jié)果發(fā)現(xiàn)四個因素對收益率的影響都是顯著的。但是，當(dāng)四個因素一起放人模型時，公司規(guī)模和賬面市值比幾乎完全覆蓋了市盈率和負債率的影響。隨后，在1993年，法馬和弗倫奇進一步發(fā)現(xiàn)，市場超額收益率、公司規(guī)模以及賬面市值比三個因素對股票收益有較為顯著的影響。

1996年，法馬和弗倫奇再次合作發(fā)表了《資產(chǎn)定價異象的多因素解釋》。在這篇文章中，兩人認為許多所謂資產(chǎn)定價的異?，F(xiàn)象都是相互聯(lián)系的，它們絕大多數(shù)都能在Fama and French(1993)三因素模型的框架下得到解釋。該文指出，一個資產(chǎn)組合的風(fēng)險溢價E( $r i$ )— $r f$ 可以用三個因素來解釋：

(1)市場組合的風(fēng)險溢價E( $r M$ )— $r f$ 。

(2)小市值股票組合與大市值股票組合回報率之差SMB。

(3)高賬面市值比的組合與低賬面市值比的組合的回報率之差HML，即

E (r i) - r f = b i [E (r M) - r f] + s i E (S M B) + h i E (H M L)

該文認為，HML可以表示一個公司危機的相對嚴重程度。那些長期維持低收入的弱小公司的HML相對較大，而且HML的斜率為正；那些長期維持高收入的大公司的HML相對較小，HML的斜率為負。相應(yīng)地，小公司股票的收益有一部分沒有被市場所解釋，因此會有一部分額外的收益來給予補償。

法馬和弗倫奇認為，上面的三因素模型是好的，可以解釋因公司規(guī)模、賬面市值比不同而產(chǎn)生的收益率差異。但他們也承認，該模型存在一定的缺陷，市場中的某些異?，F(xiàn)象還無法完全用這一模型解釋。

7.套利定價理論與資本資產(chǎn)定價模型

套利定價理論與資本資產(chǎn)定價模型的異同點

　　1976年，美國學(xué)者斯蒂芬·羅斯在《經(jīng)濟理論雜志》上發(fā)表了經(jīng)典論文“資本資產(chǎn)定價的套利理論”，提出了一種新的資產(chǎn)定價模型，此即套利定價理論(APT理論)。套利定價理論用套利概念定義均衡，不需要市場組合的存在性，而且所需的假設(shè)比資本資產(chǎn)定價模型(CAPM模型)更少、更合理。

　　與資本資產(chǎn)定價模型一樣，套利定價理論假設(shè)：

　　1.投資者有相同的投資理念；

　　2.投資者是回避風(fēng)險的，并且要效用最大化；

　　3.市場是完全的。

　　與資本資產(chǎn)定價模型不同的是，套利定價理論沒有以下假設(shè)：^[3]

　　1.單一投資期；

　　2.不存在稅收；

　　3.投資者能以無風(fēng)險利率自由借貸；

　　4.投資者以收益率的均值和方差為基礎(chǔ)選擇投資組合。

套利定價理論與資本資產(chǎn)定價模型的聯(lián)系^[4]

　　(1)二者都假定了資本市場上不存在交易成本或交易稅，或者都認為如果存在交易成本、交易稅，則其對所有的投資者而言都是相同的。

　　(2)二者都將存在的風(fēng)險劃分為系統(tǒng)性風(fēng)險和非系統(tǒng)性風(fēng)險，也就是市場風(fēng)險和公司自身的風(fēng)險。而且兩種模型都認為通過投資的多元化組合，通過投資者的合理優(yōu)化投資結(jié)構(gòu)，能夠大部分甚至完全消除公司自身存在的風(fēng)險。因此，在計算投資組合的預(yù)期回報時，兩種模型的數(shù)學(xué)表達式都認為資本市場不會由于投資者承擔(dān)了這部分風(fēng)險而給予他們補償，因而不列入計算式中。

　　(3)資本資產(chǎn)定價理論可以看做是套利定價理論在更嚴格假設(shè)條件下的特例。