囚徒困境是博弈論的非零和博弈中具代表性的例子，反映個人最佳選擇并非團體最佳選擇。雖然困境本身只屬模型性質(zhì)，但現(xiàn)實中的價格競爭、環(huán)境保護等方面，也會頻繁出現(xiàn)類似情況。

囚徒困境最早是由美國普林斯頓大學數(shù)學家阿爾伯特·塔克（Albert tucker）1950年提出來的。他當時編了一個故事向斯坦福大學的一群心理學家們解釋什么是博弈論，這個故事后來成為博弈論中最著名的案例。故事內(nèi)容是：兩個嫌疑犯(A和B)作案后被警察抓住，隔離審訊；警方的政策是“坦白從寬，抗拒從嚴”，如果兩人都坦白則各判8 年；如果一人坦白另一人不坦白，坦白的放出去，不坦白的判10年；如果都不坦白則因證據(jù)不足各判1年。

單次發(fā)生的囚徒困境，和多次重復的囚徒困境結(jié)果不會一樣。

在重復的囚徒困境中，博弈被反復地進行。因而每個參與者都有機會去“懲罰”另一個參與者前一回合的不合作行為。這時，合作可能會作為均衡的結(jié)果出現(xiàn)。欺騙的動機這時可能被受到懲罰的威脅所克服，從而可能導向一個較好的、合作的結(jié)果。作為反復接近無限的數(shù)量，納什均衡趨向于帕累托最優(yōu)。

囚徒困境的主旨為，囚徒們雖然彼此合作，堅不吐實，可為全體帶來最佳利益（無罪開釋），但在資訊不明的情況下，因為出賣同伙可為自己帶來利益（縮短刑期），也因為同伙把自己招出來可為他帶來利益，因此彼此出賣雖違反最佳共同利益，反而是自己最大利益所在。但實際上，執(zhí)法機構(gòu)不可能設立如此情境來誘使所有囚徒招供，因為囚徒們必須考慮刑期以外之因素（出賣同伙會受到報復等），而無法完全以執(zhí)法者所設立之利益（刑期）作考量。

1950年，由就職于蘭德公司的梅里爾·弗拉德（Merrill Flood）和梅爾文·德雷希爾（Melvin Dresher）擬定出相關(guān)困境的理論，后來由顧問阿爾伯特·塔克（Albert Tucker）以囚徒方式闡述，并命名為“囚徒困境”。經(jīng)典的囚徒困境如下：

警方逮捕甲、乙兩名嫌疑犯，但沒有足夠證據(jù)指控二人入罪。于是警方分開囚禁嫌疑犯，分別和二人見面，并向雙方提供以下相同的選擇：

• 若一人認罪并作證檢舉對方（相關(guān)術(shù)語稱“背叛”對方），而對方保持沉默，此人將即時獲釋，沉默者將判監(jiān)10年。
• 若二人都保持沉默（相關(guān)術(shù)語稱互相“合作”），則二人同樣判監(jiān)半年。
• 若二人都互相檢舉（互相“背叛”），則二人同樣判監(jiān)2年。

用表格概述如下：

如同博弈論的其他例證，囚徒困境假定每個參與者（即“囚徒”）都是利己的，即都尋求最大自身利益，而不關(guān)心另一參與者的利益。參與者某一策略所得利益，如果在任何情況下都比其他策略要低的話，此策略稱為“嚴格劣勢策略”，理性的參與者絕不會選擇。另外，沒有任何其他力量干預個人決策，參與者可完全按照自己意愿選擇策略。

囚徒到底應該選擇哪一項策略，才能將自己個人的刑期縮至最短？兩名囚徒由于隔絕監(jiān)禁，并不知道對方選擇；而即使他們能交談，還是未必能夠盡信對方不會反口。就個人的理性選擇而言，檢舉背叛對方所得刑期，總比沉默要來得低。試設想困境中兩名理性囚徒會如何作出選擇：

• 若對方沉默、背叛會讓我獲釋，所以會選擇背叛。
• 若對方背叛指控我，我也要指控對方才能得到較低的刑期，所以也是會選擇背叛。

二人面對的情況一樣，所以二人的理性思考都會得出相同的結(jié)論——選擇背叛。背叛是兩種策略之中的支配性策略。因此，這場博弈中唯一可能達到的納什均衡，就是雙方參與者都背叛對方，結(jié)果二人同樣服刑2年。

這場博弈的納什均衡，顯然不是顧及團體利益的帕累托最優(yōu)解決方案。以全體利益而言，如果兩個參與者都合作保持沉默，兩人都只會被判刑半年，總體利益更高，結(jié)果也比兩人背叛對方、判刑2年的情況較佳。但根據(jù)以上假設，二人均為理性的個人，且只追求自己個人利益。均衡狀況會是兩個囚徒都選擇背叛，結(jié)果二人判決均比合作為高，總體利益較合作為低。這就是“困境”所在。例子漂亮地證明了：非零和博弈中，帕累托最優(yōu)和納什均衡是相沖突的。

由囚徒困境可以寫出類似的員工困境：

一名經(jīng)理，數(shù)名員工; 前提，經(jīng)理比較苛刻;

如果所有員工都聽從經(jīng)理吩咐，則獎金等待遇一樣，不過所有人都超負荷工作

如果某人不聽從吩咐，其他人聽從吩咐，則此人下崗。其他人繼續(xù)工作

如果所有人都不聽從經(jīng)理吩咐，則經(jīng)理下崗

但是，由于員工之間信息是不透明的，而且，都擔心別人聽話自己不聽話而下崗，所以，大家只能繼續(xù)繁重的工作。

整理囚徒困境的基本博弈結(jié)構(gòu)，可更清楚地分析囚徒困境。 實驗經(jīng)濟學常用這種博弈的一般形式分析各種論題。以下是實現(xiàn)一般形式的其中一例：

有兩個參與者和一個莊家。參與者每人有一式兩張卡片，各印有“合作”和“背叛”。參與者各把一張卡片文字面朝下，放在莊家面前。文字面朝下排除了參與者知道對方選擇的可能性。然后，莊家翻開兩個參與者卡片，根據(jù)以下規(guī)則支付利益：

• 一人背叛、一人合作：背叛者得5分（背叛誘惑），合作者0分（受騙支付）。
• 二人都合作：各得3分（合作報酬）。
• 二人都背叛：各得1分（背叛懲罰）。

用支付矩陣表格展示支付如下（以紅和藍分別表示二參與者）：

簡單博弈獲得的點數(shù)可以得出一些一般化的結(jié)論。

T、R、P、S符號表

符號	分數(shù)	英文	中文（非術(shù)語）	解釋
T	5	Temptation	背叛誘惑	單獨背叛成功所得。
R	3	Reward	合作報酬	共同合作所得
P	1	Punishment	背叛懲罰	共同背叛所得
S	0	Suckers	受騙支付	被單獨背叛所獲

若以T（Temptation）=背叛誘惑，R（Reward）=合作報酬，P（Punishment）=背叛懲罰，S（Suckers）=受騙支付，以個人選擇得分而言，可得出以下不等式。

T>R>P>S

（解：從5>3>1>0獲得以上不等式）

若以整體獲分而言，將得出以下不等式。

2R>T+S或2R>2P

（解：2×3>5+0或2×3>2x1；合作2人共得6分，比起互相背叛的共得2分及單獨背叛的共得5分，顯然合作獲分比背叛高。合作在團體而言是支配性策略。）

而重復博弈或重復的囚徒困境將會使參與者從注重T>R>P>S轉(zhuǎn)變成注重2R>T+S。就是說將使參與者脫離困境。 以上理論是道格拉斯·霍夫施塔特創(chuàng)建的。

許多行業(yè)的價格競爭都是典型的囚徒困境現(xiàn)象，每家企業(yè)都以對方為敵手，只關(guān)心自己的利益。在價格博弈中，只要以對方為敵手，那么不管對方的決策怎樣，自己總是以為采取低價策略會占便宜，這就促使雙方都采取低價策略。如可口可樂公司和百事可樂公司之間的競爭、各大航空公司之間的價格競爭等等。

在國內(nèi)的家電大戰(zhàn)中，雖然不是兩個對手之間的博弈，但由于在眾多對手當中每一方的市場份額都很大，每一個主體人的行為后果受對手行為的影響都很大，因此，其情景大概也是如此。如果清楚這種前景，雙方勾結(jié)或合作起來，都制定比較高的價格，那么雙方都可以因為避免價格大戰(zhàn)而獲得較高的利潤。但是往往這些聯(lián)盟處于利益驅(qū)動的“囚徒困境”，雙贏也就成泡影。五花八門的價格聯(lián)盟總是非常短命，道理就在這里。

并不是每次個人的“理性選擇”都能讓自我利益最大化，也許會讓你陷入一個“囚徒困境”。大量例子說明，在“囚徒困境”中，常常是先動手的一方會占一些優(yōu)勢。那么，“先下手為強”吧。

現(xiàn)實中，無論是人類社會或大自然都可以找到類似囚徒困境的例子，將結(jié)果劃成同樣的支付矩陣。 社會科學中的經(jīng)濟學、政治學和社會學，以及自然科學的動物行動學、進化生物學等學科，都可以用囚徒困境分析，模擬生物面對無止境的囚徒困境博弈。囚徒困境可以廣為使用，說明這種博弈的重要性。以下為各界例子：

政治學例子：軍備競賽

在政治學中，兩國之間的軍備競賽可以用囚徒困境來描述。兩國都可以聲稱有兩種選擇：增加軍備（背叛）、或是達成削減武器協(xié)議（合作）。兩國都無法肯定對方會遵守協(xié)議，因此兩國最終會傾向增加軍備。似乎自相矛盾的是，雖然增加軍備會是兩國的「理性」行為，但結(jié)果卻顯得「非理性」（例如會對經(jīng)濟造成都有損壞等）。這可視作遏制理論的推論，就是以強大的軍事力量來遏制對方的進攻，以達到和平。

經(jīng)濟學例子：關(guān)稅戰(zhàn)

兩個國家，在關(guān)稅上可以有以兩個選擇:

1. 提高關(guān)稅，以保護自己的商品。 （背叛）

2. 與對方達成關(guān)稅協(xié)定，降低關(guān)稅以利各自商品流通。 （合作）

當一國因某些因素不遵守關(guān)稅協(xié)定，而獨自提高關(guān)稅（背叛）時，另一國也會作出同樣反應（亦背叛），這就引發(fā)了關(guān)稅戰(zhàn)，兩國的商品失去了對方的市場，對本身經(jīng)濟也造成損害（共同背叛的結(jié)果）。然后二國又重新達成關(guān)稅協(xié)定。 （重復博弈的結(jié)果是將發(fā)現(xiàn)共同合作利益最大。）

商業(yè)例子：廣告戰(zhàn)

商業(yè)活動中亦會出現(xiàn)各種囚徒困境例子。以廣告競爭為例。

兩個公司互相競爭，二公司的廣告互相影響，即一公司的廣告較被顧客接受則會奪取對方的部分收入。但若二者同時期發(fā)出質(zhì)量類似的廣告，收入增加很少但成本增加。但若不提高廣告質(zhì)量，生意又會被對方奪走。

此二公司可以有二選擇：

1. 互相達成協(xié)議，減少廣告的開支。 （合作）

2. 增加廣告開支，設法提升廣告的質(zhì)量，壓倒對方。 （背叛）

若二公司不信任對方，無法合作，背叛成為支配性策略時，二公司將陷入廣告戰(zhàn)，而廣告成本的增加損害了二公司的收益，這就是陷入囚徒困境。在現(xiàn)實中，要二互相競爭的公司達成合作協(xié)議是較為困難的，多數(shù)都會陷入囚徒困境中。

自行車賽例子

自行車賽事的比賽策略也是一種博弈，而其結(jié)果可用囚徒困境的研究成果解釋。例如每年都舉辦的環(huán)法自由車賽中有以下情況：選手們在到終點前的路程常以大隊伍（英文:Peloton）方式前進，他們采取這策略是為了令自己不至于太落后，又出力適中。

而最前方的選手在迎風時是最費力的，所以選擇在前方是最差的策略。通常會發(fā)生這樣的情況，大家起先都不愿意向前（共同背叛），這使得全體速度很慢，而后通常會有二或多位選手騎到前面，然后一段時間內(nèi)互相交換最前方位置，以分擔風的阻力（共同合作），使得全體的速度有所提升，而這時如果前方的其中一人試圖一直保持前方位置（背叛），其他選手以及大隊伍就會趕上（共同背叛）。

而通常的情況是，在最前面次數(shù)最多的選手（合作）到最后通常會被落后的選手趕上（背叛），因為后面的選手騎在前面選手的沖流之中，比較不費力。

異想

威廉·龐德斯通（William Poundstone）在他的著作中，以一新西蘭的例子來說明囚徒困境。在新西蘭，報亭既無管理員也不上鎖，買報紙的人自行放下錢后拿走報紙。當然某些人可能取走報紙卻不付錢（背叛），但由于大家認識到如果每個人都偷竊報紙（共同背叛）會造成以后不方便的有害結(jié)果，這種情形很少發(fā)生。

這例子特別之處是新西蘭人并沒有被任何其他因素影響而能脫離囚徒困境。并沒有任何人特別去注意報亭，人們守規(guī)則是為了避免共同背叛帶來的惡果。這種避免囚徒困境的大家共同的推理或想法被稱為“異想（magical thinking）”。

“認罪減刑”不可行

囚徒困境的結(jié)論是許多國家中認罪減刑（英文：plea bargain）被禁止的原因之一。囚徒困境帶來的結(jié)論是：如果有二個罪犯，其中一人犯罪而另外一人是無辜的，犯罪者會為了減刑坦白一切甚至冤枉清白者（單獨背叛）。最糟糕的情況是，如果他們二人都被判入獄，坦白的犯罪者刑期少，堅持無罪的冤枉者刑期反而更多。

公用品悲劇

現(xiàn)實的博弈參與者不只一方，會有多方參與的囚徒困境。 加勒特·詹姆斯·哈丁（Garrett James Hardin）的公用品悲劇就是一例：“公用品悲劇是指凡是屬于最多數(shù)人的公共財產(chǎn)常常是最少受人照顧的事物”，例如漁業(yè)，公海中的魚是屬于公共的，而在本身不濫捕其他人也濫捕的思想下，漁民會沒有節(jié)制的大撈特撈，結(jié)果海洋生態(tài)破壞，漁民的生計也受影響（共同背叛的結(jié)果）。

但是，多方囚徒困境的提法有待商榷，因為其總是可以被分解為一組組經(jīng)典的二方囚徒困境。就是說只有二方的囚徒困境，沒有多方的。所謂多方的囚徒困境只是由多個二方囚徒困境混雜在一起而形成的錯覺。

羅伯特·阿克塞爾羅德在其著作《合作的進化》中，探索了經(jīng)典囚徒困境情景的一個擴展，并把它稱作“重復的囚徒困境”（IPD）。在這個博弈中，參與者必須反復地選擇他們彼此相關(guān)的策略，并且記住他們以前的對抗。阿克塞爾羅德邀請全世界的學術(shù)同行來設計計算機策略，并在一個重復囚徒困境競賽中互相競爭。參賽的程序的差異廣泛地存在于這些方面：算法的復雜性、最初的對抗、寬恕的能力等等。

阿克塞爾羅德發(fā)現(xiàn)，當這些對抗被每個選擇不同策略的參與者一再重復了很長時間之后，從利己的角度來判斷，最終“貪婪”策略趨向于減少，而比較“利他主義”策略更多地被采用。他用這個博弈來說明，通過自然選擇，一種利他行為的機制可能從最初純粹的自私機制進化而來。

最佳確定性策略被認為是“以牙還牙”，這是阿納托爾·拉波波特（Anatol Rapoport）開發(fā)并運用到錦標賽中的方法。它是所有參賽程序中最簡單的，只包含了四行BASIC語言，并且贏得了比賽。這個策略只不過是在重復博弈的開頭合作，然后，采取你的對手前一回合的策略。更好些的策略是“寬恕地以牙還牙”。當你的對手背叛，在下一回合中你無論如何要以小概率（大約是1%-5%）時而合作一下。這是考慮到偶爾要從循環(huán)背叛的受騙中復原。當錯誤傳達被引入博弈時，“寬恕地以牙還牙”是最佳的。這意味著有時你的動作被錯誤地傳達給你的對手：你合作但是你的對手聽說你背叛了。

通過分析高分策略，阿克塞爾羅德指定了策略獲得成功的幾個必要條件。

;友善:最重要的條件是策略必須“友善”，這就是說，不要在對手背叛之前先背叛。幾乎所有的高分策略都是友善的。因此，完全自私的策略僅僅出于自私的原因，也永遠不會首先打擊其對手。

• 報復

• 但是，阿克斯洛德主張，成功的策略必須不是一個盲目樂觀者。要始終報復。一個非報復策略的例子是始終合作。這是一個非常糟糕的選擇，因為“下流”策略將殘酷地剝削這樣的傻瓜。

• 寬恕

• 成功策略的另一個品質(zhì)是必須要寬恕。雖然它們不報復，但是如果對手不繼續(xù)背叛，它們會一再退卻到合作。這停止了報復和反報復的長期進行，最大化了得分點數(shù)。

• 不嫉妒

• 最后一個品質(zhì)是不嫉妒，就是說不去爭取得到高于對手的分數(shù)（對于“友善”的策略來說這也是不可能的，也就是說“友善”的策略永遠無法得到高于對手的分數(shù)）。

因此，阿克塞爾羅德得到一種給人以烏托邦印象的結(jié)論，認為自私的個人為了其自私的利益會趨向友善、寬恕和不嫉妒。阿克塞爾羅德關(guān)于重復囚徒困境的研究的重要結(jié)論之一，是友善的家伙能先完成交易。

重新考慮囚徒困境中給定的軍備競賽模型：結(jié)論是，只是理性策略增進了軍事力量，似乎兩個國家都寧可花費其GDP在槍炮而不是黃油上。有趣的是，企圖說明對抗國家實際上以這種方式（在“重復囚徒困境假定”下的不同時期，軍費支出在“高”和“低”之間反復）競賽的嘗試，卻經(jīng)常表明假定的軍備競賽并沒有如預想的那樣出現(xiàn)。 （例如希臘人和土耳其人的軍費支出，看來并不像遵循“以牙還牙”的重復囚徒困境式的軍備競賽，卻更可能是被其國內(nèi)的政策所驅(qū)使。）這可能是一次性博弈和重復性博弈中的理性行為不同的例子。

對一次性囚徒困境博弈來說，最佳（點數(shù)最大化的）策略是簡單地背叛；正如前面解釋的，無論對手的行動可能是什么，這都是真實的。但是，在重復的囚徒困境博弈中，最佳策略依賴于可能的對手的策略，和他們怎樣對背叛和合作作出反應。例如，考慮這樣一個人群，那里每個人每次都背叛，除了一個人是遵循以牙還牙策略。這個人處于一種輕微的不利地位，因為第一回合的損失。在這樣的人群中，對這個人來說最佳策略就是每次都背叛。在一個有一定的百分比的總背叛者而剩下的則是以牙還牙者的人群中，對個人來說的最佳策略依賴于這個百分比和博弈的長度。

一般有兩種方法得到最佳策略：

1. 貝葉斯納什均衡：如果對抗策略的統(tǒng)計分布能被確定（例如，50％以牙還牙，50％一直合作），就能從數(shù)學上獲得最佳的相對策略。

2. 已經(jīng)有了人群的蒙特卡羅模擬，在這里低分個人消失了，高分個人一再被生產(chǎn)出來（一種獲得最佳策略的天才算法）。決賽人群中的算法合成通常依賴于初賽人群中的算法合成。

盡管以牙還牙始終被認為是最可靠的基本策略，但是在重復囚徒困境的20周年紀念賽中，來英國南安普敦大學的一個小組（由尼古拉斯·詹寧斯（Nicholas Jennings）領(lǐng)導，包括了拉蒂普·達什（Rajdeep Dash）、薩瓦帕里·拉姆瓊（Sarvapali Ramchurn）、亞歷克斯·羅杰斯（ Alex Rogers）和皮魯克里士南·維特林根（Perukrishnen Vytelingum））介紹了一個新的策略，這個策略證明了它比以牙還牙更成功。這個策略依賴于程序之間的合作，為單一程序中獲得了最高的點數(shù)。南安普敦大學提交了60個程序參與競賽，這些程序的開頭被設計成通過一組5到10個的動作去彼此識別。一旦這些識別被作出，一個程序?qū)⒖偸呛献?，其他程序則總是背叛，保證背叛者得到最大的點數(shù)。如果程序識別出它在操作一個非南安普敦參與者，這程序?qū)⒊掷m(xù)地背叛，企圖去最小化競爭程序的得分。結(jié)果，這個策略以獲得前3位結(jié)束了競賽，也得到了大量接近底部的位置。雖然這個策略顯著地證明了比以牙還牙有效，但是這是因為利用了下述事實：在這個特殊的競賽中，多重通道是被允許的。在一方只能控制單一參與者的競賽中，以牙還牙確實是更好的策略。

如果重復囚徒困境將被精確地重復N次，已知N是一個常數(shù)，那么會產(chǎn)生另一個有趣的事實。 納什均衡就是每次都背叛。這很容易用歸納法證明。你也可以在最后的回合背叛，既然你的對手將沒有機會懲罰你。因此，你們都將在最后的回合背叛。這時，你可以在倒數(shù)第二回合中背叛，既然最后一回無論你做什么，你的對手都將背叛。依此類推。為了合作以保持請求，這時未來必須對兩個參與者來說是不確定的。一個解決方案是讓博弈總次數(shù)N變成隨機的。對未來的預期必須是無法確定的長度。

另一個單獨的案例是“永不停止”的囚徒困境。這個博弈被重復很多次，而且你的分數(shù)是一個平均數(shù)（當然是用計算機計算的）。

囚徒困境博弈是某些人類合作和信任理論的基礎(chǔ)。假定囚徒困境能夠模擬需要信任的兩人之間的交流，群體的合作行為可以用有多個參與者的、重復博弈的變體來模擬。這從而引起了許許多多學者經(jīng)久不衰的興趣。 1975年，格羅夫曼（Grofman）和普爾（Pool）估計，致力于這方面研究的學術(shù)文章，數(shù)量超過2000篇。

學習心理學和博弈論

當博弈參與者能學會估計其他參與者背叛的可能性，他們自身的行為就為他們關(guān)于其他人的經(jīng)驗所影響。簡單的統(tǒng)計顯示，總體上，缺乏經(jīng)驗的參與者與其他參與者的互動，或者是典型的好，或者是典型的壞。如果他們在這些經(jīng)驗的基礎(chǔ)上行動，（通過更多的背叛或合作，否則）他們可能在未來的交易中受損。

隨著經(jīng)驗逐漸豐富，他們獲得了對背叛可能性的更真實的印象，變得更成功地參與博弈。不成熟的參與者經(jīng)歷的早期交易對他們未來參與的影響，可能比這些交易對成熟的參與者的影響要大得多。這個原理部分地解釋了，為什么年輕人的成長經(jīng)驗這么具有影響力，以及為什么他們特別容易被欺負，有時他們本身最后也成為欺凌弱小者。

群體中背叛的可能性，可以被合作的經(jīng)驗所削弱，因為先前的博弈建立了信任。因此自我犧牲行為可以，例如，加強團體的道德品質(zhì)。如果團體很小，積極行為更可能以互相肯定的方式——鼓勵這個團體中的個人繼續(xù)合作——得到反饋。這與相似的困境有關(guān)：鼓勵那些你將援助的人，從可能使他們處于危險的境地的行為中得到滿足。這類方法主要在互惠利他主義、群選擇、血緣選擇和道德哲學的研究中涉及。