單位根檢驗(yàn)是針對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)序列、貨幣金融數(shù)據(jù)序列中是否具有某種統(tǒng)計(jì)特性而提出的一種平穩(wěn)性檢驗(yàn)的特殊方法，單位根檢驗(yàn)的方法有很多種，包括ADF檢驗(yàn)、PP檢驗(yàn)、NP檢驗(yàn)等。

單位根檢驗(yàn)時(shí)間序列的單位跟研究是時(shí)間序列分析的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題。時(shí)間序列矩特性的時(shí)變行為實(shí)際上反映了時(shí)間序列的非平穩(wěn)性質(zhì)。對(duì)非平穩(wěn)時(shí)間序列的處理方法一般是將其轉(zhuǎn)變?yōu)槠椒€(wěn)序列，這樣就可以應(yīng)用有關(guān)平穩(wěn)時(shí)間序列的方法來(lái)進(jìn)行相應(yīng)得研究。對(duì)時(shí)間序列單位根的檢驗(yàn)就是對(duì)時(shí)間序列平穩(wěn)性的檢驗(yàn)，非平穩(wěn)時(shí)間序列如果存在單位根，則一般可以通過(guò)差分的方法來(lái)消除單位根，得到平穩(wěn)序列。對(duì)于存在單位根的時(shí)間序列，一般都顯示出明顯的記憶性和波動(dòng)的持續(xù)性，因此單位根檢驗(yàn)是本書中有關(guān)協(xié)整關(guān)系存在性檢驗(yàn)和序列波動(dòng)持續(xù)性討論的基礎(chǔ)。

定義2-1 隨機(jī)序列{ }，t=1,2,…是一單位根過(guò)程，若 =ρ +ε ， t=1,2… （1）其中ρ=1，{ε }為一平穩(wěn)序列，且 E[ε ]=0, V(ε )=σ <∞, Cov(ε ,ε )=μ <∞ 這里τ=1,2…。特別地，若{ε }是獨(dú)立同分布的，且E[ε ]=0，V(ε )=σ <∞，則式（1）就變成一個(gè)隨機(jī)游走序列，因此隨機(jī)游走序列是一種最簡(jiǎn)單的單位根過(guò)程。將式（1）改寫為下列形式：（ 1-ρL） =ε ， t=1,2,… 其中L為滯后算子，1-ρL為滯后算子多項(xiàng)式，其特征方程為1-ρz=0,有根z= 。當(dāng)ρ=1時(shí)，時(shí)間序列存在一個(gè)單位根，此時(shí){ }是一個(gè)單位根過(guò)程。當(dāng)ρ<1時(shí)，{ }為平穩(wěn)序列。而當(dāng)ρ〉1時(shí)，{ }為一類具有所謂爆炸根的非平穩(wěn)過(guò)程，它經(jīng)過(guò)差分后仍然為非平穩(wěn)過(guò)程，因此不為單整過(guò)程。一般情況下，單整過(guò)程可以稱作單位根過(guò)程。在經(jīng)濟(jì)、金融時(shí)間序列中，常會(huì)遇到ρ非常接近1的情況，成為近似單位根現(xiàn)象。近似單位根是介于平穩(wěn)序列I（0）和單正序列I（1）之間。一般情況下，單整過(guò)程可以稱作單位根過(guò)程。

單位根檢驗(yàn)是建立ARMA模型、ARIMA模型、變量間的協(xié)整分析、因果關(guān)系檢驗(yàn)等的基礎(chǔ)。自Nelson和Plosser利用ADF檢驗(yàn)研究了美國(guó)名義GNP等14個(gè)歷史經(jīng)濟(jì)和金融時(shí)間序列的平穩(wěn)性以后，單位根檢驗(yàn)業(yè)已成為分析經(jīng)濟(jì)和金融時(shí)間序列變化規(guī)律和預(yù)測(cè)的重要組成部分。因此，單位根檢驗(yàn)作為一種特殊的假設(shè)檢驗(yàn)，其可靠性的研究以及如何尋求可靠性較高的檢驗(yàn)方法或統(tǒng)計(jì)量多年來(lái)一直是時(shí)間序列分析中的重要課題。本書系統(tǒng)研究了廣為應(yīng)用的單位根檢驗(yàn)法?ADF(DF)檢驗(yàn)和PP檢驗(yàn)的可靠性及檢驗(yàn)程序的改進(jìn)。

在離散時(shí)間序列模型中，如自回歸移動(dòng)平均（AR-MA）過(guò)程，模型的自回歸部分的‘單位根’表明序列是不平穩(wěn)的，即隨時(shí)間的推進(jìn)，它并沒(méi)有回到給定值的趨勢(shì)（長(zhǎng)期均值）。模型的移動(dòng)平均部分的單位根表明當(dāng)進(jìn)一步考察過(guò)去時(shí)間狀態(tài)的序列時(shí)，此序列不能用一個(gè)受到對(duì)序列偏差當(dāng)前估計(jì)的觀測(cè)影響的自回歸表示，即序列是不可逆的。 平穩(wěn)和可逆的ARMA模型，不含單位根，總能被表示成無(wú)限階自回歸或移動(dòng)平均模型。距離系數(shù)滯后于序列本身yt，或修正序列εt，隨時(shí)間推移變小。博克斯和詹金斯提供了很全面的有關(guān)ARMA模型的介紹。 ARMA（p， q）模型： y-φ1 y-1-…-φpy-p= εt-θ1εt-1-…-θqεq，或利用滯后算子符號(hào)（LkXt≡Xt-k）可表示成φp（L）yt =θq（L）εt。最簡(jiǎn)單的情況，自回歸模型（AR（1））當(dāng)|φ1=1時(shí)，有一單位根（|φ1|<1時(shí)模型是平穩(wěn)的），移動(dòng)平均模型（MA（1））當(dāng)|θ1 |=1時(shí)，有一單位根（θ1<1時(shí)模型是可逆的）。

納爾遜和普洛索以及后來(lái)許多學(xué)者都表明ARMA模型的自回歸部分出現(xiàn)的單位根在動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)模型中有重要的結(jié)果。比如，有一個(gè)單位根的ARMA模型中經(jīng)濟(jì)變量?jī)A向于回復(fù)到?jīng)]有確定性的長(zhǎng)期增長(zhǎng)路徑上，同時(shí)，當(dāng)進(jìn)一步預(yù)測(cè)將來(lái)的情形時(shí)，經(jīng)濟(jì)序列的水平的不確定性變得更大。因此，對(duì)于一個(gè)綜合序列（包含一單位根），討論其‘長(zhǎng)期’均值或方差是無(wú)意義的。根據(jù)商業(yè)循環(huán)模型，單位根意味著至少序列的部分修正導(dǎo)致了序列水平的永久變化。 ARMA模型中自回歸部分的單位根檢驗(yàn)問(wèn)題是復(fù)雜的。迪基（Dickey）和富勒（Fuller） （1979年）給出了回歸的單位根“t-統(tǒng)計(jì)量”τ=（φ1-1）/s（φ1）的分布，它不是學(xué)生-t分布。他們闡述了在一般的AR（p）模型中怎樣應(yīng)用這個(gè)檢驗(yàn)。根據(jù)迪基-富勒檢驗(yàn)，納爾遜和普羅夏（1982年）稱許多美國(guó)年度宏觀經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列似乎有單位根。他們說(shuō)，這使人們對(duì)假設(shè)經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)是平穩(wěn)隨機(jī)變量，可能在一個(gè)確定性的增長(zhǎng)路徑附近發(fā)生偏差的動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)模型的有用性感到懷疑。 在股票價(jià)格研究中，單位根檢驗(yàn)在進(jìn)行經(jīng)濟(jì)分析時(shí)有重要的作用。有關(guān)股票價(jià)格（取對(duì)數(shù)）的隨機(jī)游動(dòng)模型是帶有單位根的AR（1）模型。許多關(guān)于股票市場(chǎng)效率的爭(zhēng)論都以羅伯特·希勒提出的統(tǒng)計(jì)方法為中心。特別是，他的“美國(guó)總的股票價(jià)格和股息是沿著指數(shù)趨勢(shì)線變化的隨機(jī)變量”這一假定已表明對(duì)他的“在給定未來(lái)股息狀態(tài)下，股票價(jià)格變化‘太大’”這一結(jié)論有重要的影響，參見(jiàn)克萊頓馬什和默頓。

在迪基-富勒之后，一些學(xué)者提出了對(duì)自回歸單位根的其他檢驗(yàn)方法，這些方法對(duì)一般的ARMA（p， q）過(guò)程是適用的。包括賽義德和迪基、菲利普斯及菲利普斯和珀森等提出的方法。這些方法十分吸引人，因?yàn)樗鼈儾灰笱芯空邔?duì)ARMA過(guò)程產(chǎn)生的數(shù)據(jù)作很強(qiáng)的假設(shè)，不付出一定的代價(jià)這個(gè)好處是不會(huì)有的。施韋爾特用蒙特卡洛試驗(yàn)表明當(dāng)數(shù)據(jù)產(chǎn)生過(guò)程不是簡(jiǎn)單的AR過(guò)程時(shí)，這些單位根檢驗(yàn)方法對(duì)有限大樣本效果較差。特別地，施韋爾特用許多美國(guó)二次大戰(zhàn)后月度或季度的宏觀經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列所符合的ARMA（1， 1）過(guò)程表明單位根檢驗(yàn)的樣本容量經(jīng)常比漸近分布理論所表達(dá)的要大。例如，在有1000個(gè)觀察值的樣本下，一個(gè)名義上為5%的水平的檢驗(yàn)可能錯(cuò)誤地拒絕一個(gè)96%可能性有單位根的假設(shè)。 并且，用檢驗(yàn)的功效去區(qū)別單位根和自回歸根的問(wèn)題在于它們很接近，除非其中一個(gè)特別小，換句話說(shuō)，研究者相信數(shù)據(jù)生成過(guò)程是平穩(wěn)的，但又含有很強(qiáng)的自回歸循環(huán)；研究者如認(rèn)為過(guò)程不平穩(wěn)，但用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的方法區(qū)別其不同未必靠得住。 移動(dòng)平均過(guò)程中的單位根檢驗(yàn)問(wèn)題同樣是復(fù)雜的。普洛索和施韋爾特（1977年）表明當(dāng)序列不能消除一個(gè)確定的時(shí)間傾向時(shí)，在MA過(guò)程中就會(huì)產(chǎn)生單位根。區(qū)別單位根和移動(dòng)平均根很接近的統(tǒng)計(jì)問(wèn)題類似于上面討論的AR過(guò)程。 最令人驚訝的是美國(guó)月度消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)通貨膨脹率，實(shí)際利率和易變的股票收益等序列可能含有單位根。相關(guān)內(nèi)容可參見(jiàn)納爾遜和施韋爾特，1977年；弗倫斯、施韋爾特和斯坦博， 1987年；帕甘和施韋爾特，1990年；以及施韋爾特1987年。因?yàn)檫@些序列都是通過(guò)百分比增長(zhǎng)率來(lái)表示的，因此懷疑不平穩(wěn)的原因就消失了。 像年度資本國(guó)民生產(chǎn)總值這樣的序列，是許多有關(guān)單位根的實(shí)用的宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)文獻(xiàn)的焦點(diǎn)，這些可能導(dǎo)致單位根產(chǎn)生的不平穩(wěn)的來(lái)源是容易想象的。比如，技術(shù)的進(jìn)步即經(jīng)過(guò)若干時(shí)間積累起來(lái)的隨機(jī)創(chuàng)造會(huì)導(dǎo)致隨機(jī)游動(dòng)行為。這樣就容易理解名義價(jià)格水平可能包含單位根的許多原因。另一方面，通貨膨脹率含有一個(gè)單位根就意味著（取對(duì)數(shù)）價(jià)格水平含有兩個(gè)單位根，和那種行為一致的解釋的集合是明顯地較小。

即使懷疑一特定的經(jīng)濟(jì)序列含有單位根，不平穩(wěn)的來(lái)源也是值得考慮的。比如，在消費(fèi)者物價(jià)指數(shù)中不穩(wěn)定的工藝變化可能引起單位根。但原因僅僅是因?yàn)閯趧?dòng)統(tǒng)計(jì)局在（產(chǎn)品）質(zhì)量的改變上沒(méi)有予以準(zhǔn)確的調(diào)整。 在考察經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列時(shí)，對(duì)于改變?nèi)丝?a href="/wiki/%E7%BB%9F%E8%AE%A1" title="統(tǒng)計(jì)">統(tǒng)計(jì)特征和計(jì)量實(shí)踐的程度導(dǎo)致的不平穩(wěn)，許多經(jīng)濟(jì)學(xué)家能恰當(dāng)?shù)睾鲆曔@些因素，因?yàn)樗鼘?duì)經(jīng)濟(jì)理論影響甚微。另一方面，假如不平穩(wěn)的結(jié)果來(lái)自因?yàn)榧夹g(shù)或偏好的綜和過(guò)程，在用數(shù)據(jù)標(biāo)定他們錯(cuò)誤指定的理論化結(jié)構(gòu)時(shí)，對(duì)（長(zhǎng)期）增長(zhǎng)模型或（短期）商業(yè)循環(huán)模型感興趣的經(jīng)濟(jì)學(xué)家可能犯嚴(yán)重的錯(cuò)誤。只有認(rèn)真地分析這些數(shù)據(jù)，包括用于產(chǎn)生數(shù)據(jù)的計(jì)量知識(shí)，才可能解決這些問(wèn)題。

用來(lái)檢驗(yàn)單位根的統(tǒng)計(jì)方法存在的弱點(diǎn)必然要求一些非標(biāo)準(zhǔn)的方法。事實(shí)上，許多經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列顯示了其持續(xù)性。關(guān)于單位根的爭(zhēng)論看來(lái)還要持續(xù)很長(zhǎng)時(shí)間。撇開(kāi)其他的不談，這些統(tǒng)計(jì)學(xué)的、經(jīng)驗(yàn)的文獻(xiàn)使許多理論學(xué)者把注意力集中在系列動(dòng)態(tài)模型上，而這些模型可以幫助理解長(zhǎng)期行為。