期望效用函數(shù)理論是20世紀(jì)50年代,馮·紐曼和摩根斯坦(Von Neumann and Morgenstern)在公理化假設(shè)的基礎(chǔ)上，運用邏輯和數(shù)學(xué)工具，建立了不確定條件下對理性人(rational actor)選擇進(jìn)行分析的框架。不過, 該理論是將個體和群體合而為一的。后來，阿羅和德布魯（Arrow and Debreu）將其吸收進(jìn)瓦爾拉斯均衡的框架中，成為處理不確定性決策問題的分析范式，進(jìn)而構(gòu)筑起現(xiàn)代微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)并由此展開的包括宏觀、金融、計量等在內(nèi)的宏偉而又優(yōu)美的理論大廈。

如果某個隨機(jī)變量X以概率P_i取值x_i，i=1,2,…,n，而某人在確定地得到x_i時的效用為u(x_i)，那么，該隨機(jī)變量給他的效用便是：

U(X) = E[u(X)] = P₁u(x₁) + P₂u(x₂) + ... + P_nu(x_n)

其中，E[u(X)]表示關(guān)于隨機(jī)變量X的期望效用。因此U(X)稱為期望效用函數(shù)，又叫做馮·諾依曼—摩根斯坦效用函數(shù)（VNM函數(shù)）。另外，要說明的是期望效用函數(shù)失去了保序性，不具有序數(shù)性。

　　考慮兩人的博弈(兩人零和博弈)，二者出同樣多的錢(100元)賭博，贏者變成200元，輸者為0。不考慮其他因素情況下，輸贏概率均為0.5，期望效用E(u)=0.5×200+0.5×0=100。雙方的效用為，u₁,u₂為兩種狀態(tài)下的邊際效用(如上圖)。比賭博前的u₁少了。如果一個人擁有200元，再拿出100元進(jìn)行賭博，其損失效用為，比較如下：

　　對作變量替換t=x-100，得

　　,

　　且100 < μ₁ < μ₂ < 400,

　　當(dāng)u為凹函數(shù)時，當(dāng)u是凸函數(shù)時，當(dāng)u是直線時，。所以當(dāng)時，u為凸函數(shù)；時，u為凹函數(shù)；時，u為直線。

　　由此可見，時，即一個富人拿出一部分錢去賭博所損失的效用要低于一個窮人拿出同樣的錢去賭博所損失的效用。也就是說富人更經(jīng)得起這種賭博帶來的效用損失。因而u是凹函數(shù)。

EU理論及SEU理論描述了“理性人”在風(fēng)險條件下的決策行為。但實際上人并不是純粹的理性人，決策還受到人的復(fù)雜的心理機(jī)制的影響。因此，ＥＵ理論對人的風(fēng)險決策的描述性效度一直受到懷疑。例如，EU理論難以解釋阿萊悖論、Ellsberg悖論等現(xiàn)象；沒有考慮現(xiàn)實生活中個體效用的模糊性、主觀概率的模糊性；不能解釋偏好的不一致性、非傳遞性、不可代換性、“偏好反轉(zhuǎn)現(xiàn)象”、觀察到的保險和賭博行為；現(xiàn)實生活中也有對EU理論中理性選擇上的優(yōu)勢原則和無差異原則的違背；實際生活中的決策者對效用函數(shù)的估計也違背EU理論的效用函數(shù)。

另外，隨著實驗心理學(xué)的發(fā)展，預(yù)期效用理論在實驗經(jīng)濟(jì)學(xué)的一系列選擇實驗中受到了一些“悖論”的挑戰(zhàn)。實驗經(jīng)濟(jì)學(xué)在風(fēng)險決策領(lǐng)域所進(jìn)行的實驗研究最廣泛采取的是彩票選擇實驗（lottery－choice experiments），即實驗者根據(jù)一定的實驗?zāi)繕?biāo)，在一些配對的組合中進(jìn)行選擇，這些配對的選擇通常在收益值及贏得收益值的概率方面存在關(guān)聯(lián)。通過實驗經(jīng)濟(jì)學(xué)的論證，同結(jié)果效應(yīng)、同比率效應(yīng)、反射效應(yīng)、概率性保險、孤立效應(yīng)、偏好反轉(zhuǎn)等“悖論”的提出對預(yù)期效用理論形成了重大沖擊。

研究者針對以上問題提出了以下幾種使EU理論一般化的方式:

(1)Karmark(1978)提出主觀權(quán)重效用(Subjectively Weighted Utility，SWU)的概念，用決策權(quán)重替代線性概率，這可以解釋Allais問題和共同比率效應(yīng)，但不能解釋優(yōu)勢原則的違背；

(2)擴(kuò)展性效用模型（generalized utility model）。該類模型的特點是針對同結(jié)果效應(yīng)和同比率效應(yīng)等，放松預(yù)期效用函數(shù)的線性特征，或?qū)砘僭O(shè)進(jìn)行重新表述，模型將用概率三角形表示的預(yù)期效用函數(shù)線性特征的無差異曲線，擴(kuò)展成體現(xiàn)局部線性近似的扇行展開。這些模型沒有給出度量效用的原則，但給出了效用函數(shù)的許多限定條件。

(3)Kahneman和阿莫斯·特沃斯基（Amos Tversky）(1979)引入系統(tǒng)的非傳遞性和不連續(xù)性的概念，以解決優(yōu)勢違背問題；

(4)“后悔”的概念被引入，以解釋共同比率效應(yīng)和偏好的非傳遞性；如Loomes和Sudgen（1982）所提出的“后悔模型”引入了一種后悔函數(shù)，將效用奠定在個體對過去“不選擇”結(jié)果的心理體驗上（放棄選擇后出現(xiàn)不佳結(jié)果感到慶幸，放棄選擇后出現(xiàn)更佳結(jié)果感到后悔），對預(yù)期效用函數(shù)進(jìn)行了改寫（仍然保持了線性特征）。

(5)允許決策權(quán)重隨得益的等級和跡象變化，這是對SWU的進(jìn)一步發(fā)展。

(6)非可加性效用模型（non-additivity utility model）這類模型主要針對埃爾斯伯格悖論，該模型認(rèn)為概率在其測量上是不可加的。

1．風(fēng)險偏好

　　風(fēng)險偏好表明經(jīng)濟(jì)代理人對于風(fēng)險的個人偏好狀態(tài)，其效用隨資金報酬的增加而增加，增加率遞增。無論人們對風(fēng)險承擔(dān)者的概念作何種理解，我們都可以肯定地認(rèn)為，獲取隨機(jī)報酬形比獲取確定報酬W=E[W]所承擔(dān)的風(fēng)險要大得多。如果某個市場參加者總是寧愿獲取W=E[W]的報酬(相應(yīng)獲得U(E[W])的效用)，而且他也愿意承擔(dān)風(fēng)險獲取風(fēng)險報酬W(相應(yīng)獲得的預(yù)期效用為E(U[W]))，那么，我們就稱這個市場參加者為風(fēng)險偏好者。也就是說，當(dāng)面臨多種同樣資金預(yù)期值的投機(jī)方式時，風(fēng)險偏好者將選擇具有較大不確定性的投機(jī)方式。U(E[X])<E(U[X])，風(fēng)險偏好的效用函數(shù)是凸函數(shù)。如圖所示，效用的增加率隨報酬的增加而遞增。效用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)大于零。

2．風(fēng)險中性

　　風(fēng)險中性是相對于風(fēng)險偏好和風(fēng)險厭惡的概念，風(fēng)險中性的投資者對自己承擔(dān)的風(fēng)險并不要求風(fēng)險補(bǔ)償。我們把每個人都是風(fēng)險中性的世界稱之為風(fēng)險中性世界，這樣的世界里，投資者對風(fēng)險不要補(bǔ)償，所有證券的期望報酬率都是無風(fēng)險利率。真實世界里的投資者盡管在風(fēng)險偏好方面存在差異，但當(dāng)套利機(jī)會出現(xiàn)時，投資者無論風(fēng)險偏好如何都會采取套利行為，消除套利機(jī)會后的均衡價格與投資者的風(fēng)險偏好無關(guān)。風(fēng)險中性者并不介意一項投機(jī)是否具有比較確定或者不那么確定的結(jié)果。他們只是根據(jù)預(yù)期的資金價值來選擇投機(jī)，特別而言，他們要使期望資金價值最大化。下圖效用的增加率不隨報酬的增加而變動，效用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)等于零。U=a+bM，其中U為效用，M為資金報酬，a和b是常數(shù)(b>0)。U(E[X])=E(U[X])風(fēng)險中性的效用函數(shù)是條直線。

3．風(fēng)險厭惡

　　風(fēng)險厭惡是一個人接受一個有不確定的報酬的交易時，相對于接受另外一個更保險，但是也可能具有更低期望報酬的交易的不情愿程度。風(fēng)險厭惡是一個人在承受風(fēng)險情況下其偏好的特征，可以用它來測量人們?yōu)榻档退媾R的風(fēng)險而進(jìn)行支付的意愿。在降低風(fēng)險的成本與報酬的權(quán)衡過程中，厭惡風(fēng)險的人們在相同的成本下更傾向于做出低風(fēng)險的選擇。例如，如果通常情況下你情愿在一項投資上接受一個較低的預(yù)期回報率，因為這一回報率具有更高的可測性，你就是風(fēng)險厭惡者。當(dāng)對具有相同的預(yù)期回報率的投資項目進(jìn)行選擇時，風(fēng)險厭惡者一般選擇風(fēng)險最低的項目。當(dāng)面對具有相同預(yù)期資金價值的投機(jī)時，風(fēng)險厭惡者喜歡結(jié)果比較確定的投機(jī)，而不喜歡結(jié)果不那么確定的投機(jī)。在信息經(jīng)濟(jì)學(xué)中，風(fēng)險厭惡者的效用函數(shù)一般被假設(shè)為凹性。如圖所示，效用上網(wǎng)增加率隨報酬的增加遞減。效用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)小于零，U(E[X])>E(U[x])風(fēng)險厭惡的效用函數(shù)是凹函數(shù)。

CE 被稱作確定性等值(Certainty. Equivalent)，即消費者為達(dá)到期望的效用水平所要求保證的財產(chǎn)水平。若某人的財富效用函數(shù)為u(x)，而一個賭局對某人的效用為E(u(x))，則有一個CE值能夠滿足：u(CE)=E(u(x))。稱CE為某人在該賭局中的確定性等值。

保險市場的價格——保險金：若某人的財富數(shù)量為w，其財富效用函數(shù)為u(x)，而一個賭局對某人的效用為u(E(x))，若有u(w-R)= u(E(x))，則稱R為保險金。因為u(w-R)= u(CE)，所以R=w-CE。

風(fēng)險厭惡者是保險的需求者，同時也可以成為保險的供給者。

案例一:期望效用函數(shù)理論在就業(yè)管理中的應(yīng)用^[3]

　　一、就業(yè)期望效用函數(shù)的構(gòu)造

　　從不確定性出發(fā)，考慮人們的偏好與效用函數(shù)就得引進(jìn)概率P。概率的效用函數(shù)表達(dá)式叫期望效用函數(shù)，如果把期望效用函數(shù)與大學(xué)生擇業(yè)、就業(yè)結(jié)合就可以較簡單地構(gòu)造出就業(yè)期望效用函數(shù)探討大學(xué)生就業(yè)的現(xiàn)象機(jī)制一般來講是在條件確定時進(jìn)行的經(jīng)驗或者理性的推導(dǎo)。但是，許多場合，那種以完全確定為前提的分析是不現(xiàn)實的。事實上，我們知道，畢業(yè)生在決策時，對于選擇的后果是不完全知道的，具有不確定性，要冒一定的風(fēng)險。

　　畢業(yè)生的決策是取決于他(她)關(guān)于選擇某一個工作崗位的概率分布的主觀猜測。如果他主觀認(rèn)為選擇某一工作發(fā)展前景概率更高，那么，它就會選擇，否則另謀出路。這就是我們必須從不確定性出發(fā)，考慮消費者的偏好與效用函數(shù)就得引進(jìn)概率P使之變成期望效用函數(shù)。如果你選擇的工作對象是兩家IT公司，收入見下表。

　　表工資收入。

期望收入=(結(jié)果1的概率)×(結(jié)果1的收入)+(結(jié)果2的概率)×(結(jié)果2的收入)。工作A=1600。工作B=1450則你應(yīng)該選擇工作A，而期望效用(expected utility)一般在單賭的情況下值為u(g)=pu(A)+(1-P)u(B)當(dāng)u(g₁) > u(g₂)時，則可認(rèn)為畢業(yè)時在g_1與g_2之間更偏好g_1。也就是說，當(dāng)尋找工作的畢業(yè)生有多種未知的情況，而要選擇時，他們能夠依靠期望效用的極大化來代表分析自己的主觀選擇。如果選擇工作的結(jié)果有，n個可能性，即，同時對u(a_i)(i=1,2,……,n)賦值，代人構(gòu)造的就業(yè)期望效用函數(shù)。如果即對畢業(yè)生來說，a_i最好，a_n最次。如果學(xué)生把a_i看成是a₁與a_n的一個線性組合一樣好，在他看來，任一個可能結(jié)果a_i(i=1,2,……,n)總不外是與最好的結(jié)果與最次的結(jié)果之間的某種組合一樣好，即a_i～令u(a_i) ? = p_i即用畢業(yè)生心里那個使a與某個單賭等價的最好事件發(fā)生概率P_i來定義u(a_i)則可構(gòu)建就是期望效用函數(shù)為：。

　　就業(yè)期望效用函數(shù)的意義在于，當(dāng)大學(xué)生面臨不確定性的擇業(yè)、就業(yè)選擇時，他可以依靠期望效用的極大化來分析自己的選擇是否合理可行，至少可以對目前的狀況做較規(guī)范的分析。

　　二、效用函數(shù)應(yīng)用實例

　　假設(shè)目前市場上由三份工作可以選擇，它們的工資分別為A=(3000元，1500元，1000元)括號中的a₁ = 3000,a₂ = 1500,a₃ = 1000，分別表示可能發(fā)生的三種結(jié)果，這里a₁最好，a₃最次。

　　如果問自己：當(dāng)a發(fā)生的概率(p)等于多少時使你認(rèn)為a(i=1，2，3)與(p,a₁,a₂)元差異?如果回答是：3000元～(1×(3000元)，0×(1000元)，1500元～(0.6×(3000元)，0.4×(1000元))，1000元～(0×(3000元)，1×(1000元))那么可以定義：

　　u=(3000元) = u(a₁) = 1

　　u=(1500元) = u(a₂) = O.6

　　u=(1000元)=u = (a₃) = O

　　現(xiàn)在可以比較不同尋職格局了。比如：

　　則u(S₁) = 0.2u(1500) + 0.8u(3000) = 0.92

　　由于u(S₁) > u(S₂)即S₁的期望效用大于S₂的期望效用，所以你=定會偏好于選擇S₁。因此就業(yè)者可以通過自己對某=行業(yè)的了解及心理自測的評價，利用就業(yè)期望效益較合理評估自己的想法，尋找更多的機(jī)會和更合適的工作崗位。