期望效用函數(shù)理論是20世紀(jì)50年代,馮·紐曼和摩根斯坦(Von Neumann and Morgenstern)在公理化假設(shè)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用邏輯和數(shù)學(xué)工具，建立了不確定條件下對(duì)理性人(rational actor)選擇進(jìn)行分析的框架。不過, 該理論是將個(gè)體和群體合而為一的。后來，阿羅和德布魯（Arrow and Debreu）將其吸收進(jìn)瓦爾拉斯均衡的框架中，成為處理不確定性決策問題的分析范式，進(jìn)而構(gòu)筑起現(xiàn)代微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)并由此展開的包括宏觀、金融、計(jì)量等在內(nèi)的宏偉而又優(yōu)美的理論大廈。

如果某個(gè)隨機(jī)變量X以概率P_i取值x_i，i=1,2,…,n，而某人在確定地得到x_i時(shí)的效用為u(x_i)，那么，該隨機(jī)變量給他的效用便是：

U(X) = E[u(X)] = P₁u(x₁) + P₂u(x₂) + ... + P_nu(x_n)

其中，E[u(X)]表示關(guān)于隨機(jī)變量X的期望效用。因此U(X)稱為期望效用函數(shù)，又叫做馮·諾依曼—摩根斯坦效用函數(shù)（VNM函數(shù)）。另外，要說明的是期望效用函數(shù)失去了保序性，不具有序數(shù)性。

　　考慮兩人的博弈(兩人零和博弈)，二者出同樣多的錢(100元)賭博，贏者變成200元，輸者為0。不考慮其他因素情況下，輸贏概率均為0.5，期望效用E(u)=0.5×200+0.5×0=100。雙方的效用為，u₁,u₂為兩種狀態(tài)下的邊際效用(如上圖)。比賭博前的u₁少了。如果一個(gè)人擁有200元，再拿出100元進(jìn)行賭博，其損失效用為，比較如下：

　　對(duì)作變量替換t=x-100，得

　　,

　　且100 < μ₁ < μ₂ < 400,

　　當(dāng)u為凹函數(shù)時(shí)，當(dāng)u是凸函數(shù)時(shí)，當(dāng)u是直線時(shí)，。所以當(dāng)時(shí)，u為凸函數(shù)；時(shí)，u為凹函數(shù)；時(shí)，u為直線。

　　由此可見，時(shí)，即一個(gè)富人拿出一部分錢去賭博所損失的效用要低于一個(gè)窮人拿出同樣的錢去賭博所損失的效用。也就是說富人更經(jīng)得起這種賭博帶來的效用損失。因而u是凹函數(shù)。

EU理論及SEU理論描述了“理性人”在風(fēng)險(xiǎn)條件下的決策行為。但實(shí)際上人并不是純粹的理性人，決策還受到人的復(fù)雜的心理機(jī)制的影響。因此，ＥＵ理論對(duì)人的風(fēng)險(xiǎn)決策的描述性效度一直受到懷疑。例如，EU理論難以解釋阿萊悖論、Ellsberg悖論等現(xiàn)象；沒有考慮現(xiàn)實(shí)生活中個(gè)體效用的模糊性、主觀概率的模糊性；不能解釋偏好的不一致性、非傳遞性、不可代換性、“偏好反轉(zhuǎn)現(xiàn)象”、觀察到的保險(xiǎn)和賭博行為；現(xiàn)實(shí)生活中也有對(duì)EU理論中理性選擇上的優(yōu)勢(shì)原則和無差異原則的違背；實(shí)際生活中的決策者對(duì)效用函數(shù)的估計(jì)也違背EU理論的效用函數(shù)。

另外，隨著實(shí)驗(yàn)心理學(xué)的發(fā)展，預(yù)期效用理論在實(shí)驗(yàn)經(jīng)濟(jì)學(xué)的一系列選擇實(shí)驗(yàn)中受到了一些“悖論”的挑戰(zhàn)。實(shí)驗(yàn)經(jīng)濟(jì)學(xué)在風(fēng)險(xiǎn)決策領(lǐng)域所進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)研究最廣泛采取的是彩票選擇實(shí)驗(yàn)（lottery－choice experiments），即實(shí)驗(yàn)者根據(jù)一定的實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)，在一些配對(duì)的組合中進(jìn)行選擇，這些配對(duì)的選擇通常在收益值及贏得收益值的概率方面存在關(guān)聯(lián)。通過實(shí)驗(yàn)經(jīng)濟(jì)學(xué)的論證，同結(jié)果效應(yīng)、同比率效應(yīng)、反射效應(yīng)、概率性保險(xiǎn)、孤立效應(yīng)、偏好反轉(zhuǎn)等“悖論”的提出對(duì)預(yù)期效用理論形成了重大沖擊。

研究者針對(duì)以上問題提出了以下幾種使EU理論一般化的方式:

(1)Karmark(1978)提出主觀權(quán)重效用(Subjectively Weighted Utility，SWU)的概念，用決策權(quán)重替代線性概率，這可以解釋Allais問題和共同比率效應(yīng)，但不能解釋優(yōu)勢(shì)原則的違背；

(2)擴(kuò)展性效用模型（generalized utility model）。該類模型的特點(diǎn)是針對(duì)同結(jié)果效應(yīng)和同比率效應(yīng)等，放松預(yù)期效用函數(shù)的線性特征，或?qū)砘僭O(shè)進(jìn)行重新表述，模型將用概率三角形表示的預(yù)期效用函數(shù)線性特征的無差異曲線，擴(kuò)展成體現(xiàn)局部線性近似的扇行展開。這些模型沒有給出度量效用的原則，但給出了效用函數(shù)的許多限定條件。

(3)Kahneman和阿莫斯·特沃斯基（Amos Tversky）(1979)引入系統(tǒng)的非傳遞性和不連續(xù)性的概念，以解決優(yōu)勢(shì)違背問題；

(4)“后悔”的概念被引入，以解釋共同比率效應(yīng)和偏好的非傳遞性；如Loomes和Sudgen（1982）所提出的“后悔模型”引入了一種后悔函數(shù)，將效用奠定在個(gè)體對(duì)過去“不選擇”結(jié)果的心理體驗(yàn)上（放棄選擇后出現(xiàn)不佳結(jié)果感到慶幸，放棄選擇后出現(xiàn)更佳結(jié)果感到后悔），對(duì)預(yù)期效用函數(shù)進(jìn)行了改寫（仍然保持了線性特征）。

(5)允許決策權(quán)重隨得益的等級(jí)和跡象變化，這是對(duì)SWU的進(jìn)一步發(fā)展。

(6)非可加性效用模型（non-additivity utility model）這類模型主要針對(duì)埃爾斯伯格悖論，該模型認(rèn)為概率在其測(cè)量上是不可加的。

1．風(fēng)險(xiǎn)偏好

　　風(fēng)險(xiǎn)偏好表明經(jīng)濟(jì)代理人對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)的個(gè)人偏好狀態(tài)，其效用隨資金報(bào)酬的增加而增加，增加率遞增。無論人們對(duì)風(fēng)險(xiǎn)承擔(dān)者的概念作何種理解，我們都可以肯定地認(rèn)為，獲取隨機(jī)報(bào)酬形比獲取確定報(bào)酬W=E[W]所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)要大得多。如果某個(gè)市場(chǎng)參加者總是寧愿獲取W=E[W]的報(bào)酬(相應(yīng)獲得U(E[W])的效用)，而且他也愿意承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)獲取風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬W(相應(yīng)獲得的預(yù)期效用為E(U[W]))，那么，我們就稱這個(gè)市場(chǎng)參加者為風(fēng)險(xiǎn)偏好者。也就是說，當(dāng)面臨多種同樣資金預(yù)期值的投機(jī)方式時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)偏好者將選擇具有較大不確定性的投機(jī)方式。U(E[X])<E(U[X])，風(fēng)險(xiǎn)偏好的效用函數(shù)是凸函數(shù)。如圖所示，效用的增加率隨報(bào)酬的增加而遞增。效用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)大于零。

2．風(fēng)險(xiǎn)中性

　　風(fēng)險(xiǎn)中性是相對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)偏好和風(fēng)險(xiǎn)厭惡的概念，風(fēng)險(xiǎn)中性的投資者對(duì)自己承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)并不要求風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償。我們把每個(gè)人都是風(fēng)險(xiǎn)中性的世界稱之為風(fēng)險(xiǎn)中性世界，這樣的世界里，投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)不要補(bǔ)償，所有證券的期望報(bào)酬率都是無風(fēng)險(xiǎn)利率。真實(shí)世界里的投資者盡管在風(fēng)險(xiǎn)偏好方面存在差異，但當(dāng)套利機(jī)會(huì)出現(xiàn)時(shí)，投資者無論風(fēng)險(xiǎn)偏好如何都會(huì)采取套利行為，消除套利機(jī)會(huì)后的均衡價(jià)格與投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好無關(guān)。風(fēng)險(xiǎn)中性者并不介意一項(xiàng)投機(jī)是否具有比較確定或者不那么確定的結(jié)果。他們只是根據(jù)預(yù)期的資金價(jià)值來選擇投機(jī)，特別而言，他們要使期望資金價(jià)值最大化。下圖效用的增加率不隨報(bào)酬的增加而變動(dòng)，效用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)等于零。U=a+bM，其中U為效用，M為資金報(bào)酬，a和b是常數(shù)(b>0)。U(E[X])=E(U[X])風(fēng)險(xiǎn)中性的效用函數(shù)是條直線。

3．風(fēng)險(xiǎn)厭惡

　　風(fēng)險(xiǎn)厭惡是一個(gè)人接受一個(gè)有不確定的報(bào)酬的交易時(shí)，相對(duì)于接受另外一個(gè)更保險(xiǎn)，但是也可能具有更低期望報(bào)酬的交易的不情愿程度。風(fēng)險(xiǎn)厭惡是一個(gè)人在承受風(fēng)險(xiǎn)情況下其偏好的特征，可以用它來測(cè)量人們?yōu)榻档退媾R的風(fēng)險(xiǎn)而進(jìn)行支付的意愿。在降低風(fēng)險(xiǎn)的成本與報(bào)酬的權(quán)衡過程中，厭惡風(fēng)險(xiǎn)的人們?cè)谙嗤某杀鞠赂鼉A向于做出低風(fēng)險(xiǎn)的選擇。例如，如果通常情況下你情愿在一項(xiàng)投資上接受一個(gè)較低的預(yù)期回報(bào)率，因?yàn)檫@一回報(bào)率具有更高的可測(cè)性，你就是風(fēng)險(xiǎn)厭惡者。當(dāng)對(duì)具有相同的預(yù)期回報(bào)率的投資項(xiàng)目進(jìn)行選擇時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)厭惡者一般選擇風(fēng)險(xiǎn)最低的項(xiàng)目。當(dāng)面對(duì)具有相同預(yù)期資金價(jià)值的投機(jī)時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)厭惡者喜歡結(jié)果比較確定的投機(jī)，而不喜歡結(jié)果不那么確定的投機(jī)。在信息經(jīng)濟(jì)學(xué)中，風(fēng)險(xiǎn)厭惡者的效用函數(shù)一般被假設(shè)為凹性。如圖所示，效用上網(wǎng)增加率隨報(bào)酬的增加遞減。效用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)小于零，U(E[X])>E(U[x])風(fēng)險(xiǎn)厭惡的效用函數(shù)是凹函數(shù)。

CE 被稱作確定性等值(Certainty. Equivalent)，即消費(fèi)者為達(dá)到期望的效用水平所要求保證的財(cái)產(chǎn)水平。若某人的財(cái)富效用函數(shù)為u(x)，而一個(gè)賭局對(duì)某人的效用為E(u(x))，則有一個(gè)CE值能夠滿足：u(CE)=E(u(x))。稱CE為某人在該賭局中的確定性等值。

保險(xiǎn)市場(chǎng)的價(jià)格——保險(xiǎn)金：若某人的財(cái)富數(shù)量為w，其財(cái)富效用函數(shù)為u(x)，而一個(gè)賭局對(duì)某人的效用為u(E(x))，若有u(w-R)= u(E(x))，則稱R為保險(xiǎn)金。因?yàn)閡(w-R)= u(CE)，所以R=w-CE。

風(fēng)險(xiǎn)厭惡者是保險(xiǎn)的需求者，同時(shí)也可以成為保險(xiǎn)的供給者。

案例一:期望效用函數(shù)理論在就業(yè)管理中的應(yīng)用^[3]

　　一、就業(yè)期望效用函數(shù)的構(gòu)造

　　從不確定性出發(fā)，考慮人們的偏好與效用函數(shù)就得引進(jìn)概率P。概率的效用函數(shù)表達(dá)式叫期望效用函數(shù)，如果把期望效用函數(shù)與大學(xué)生擇業(yè)、就業(yè)結(jié)合就可以較簡(jiǎn)單地構(gòu)造出就業(yè)期望效用函數(shù)探討大學(xué)生就業(yè)的現(xiàn)象機(jī)制一般來講是在條件確定時(shí)進(jìn)行的經(jīng)驗(yàn)或者理性的推導(dǎo)。但是，許多場(chǎng)合，那種以完全確定為前提的分析是不現(xiàn)實(shí)的。事實(shí)上，我們知道，畢業(yè)生在決策時(shí)，對(duì)于選擇的后果是不完全知道的，具有不確定性，要冒一定的風(fēng)險(xiǎn)。

　　畢業(yè)生的決策是取決于他(她)關(guān)于選擇某一個(gè)工作崗位的概率分布的主觀猜測(cè)。如果他主觀認(rèn)為選擇某一工作發(fā)展前景概率更高，那么，它就會(huì)選擇，否則另謀出路。這就是我們必須從不確定性出發(fā)，考慮消費(fèi)者的偏好與效用函數(shù)就得引進(jìn)概率P使之變成期望效用函數(shù)。如果你選擇的工作對(duì)象是兩家IT公司，收入見下表。

　　表工資收入。

期望收入=(結(jié)果1的概率)×(結(jié)果1的收入)+(結(jié)果2的概率)×(結(jié)果2的收入)。工作A=1600。工作B=1450則你應(yīng)該選擇工作A，而期望效用(expected utility)一般在單賭的情況下值為u(g)=pu(A)+(1-P)u(B)當(dāng)u(g₁) > u(g₂)時(shí)，則可認(rèn)為畢業(yè)時(shí)在g_1與g_2之間更偏好g_1。也就是說，當(dāng)尋找工作的畢業(yè)生有多種未知的情況，而要選擇時(shí)，他們能夠依靠期望效用的極大化來代表分析自己的主觀選擇。如果選擇工作的結(jié)果有，n個(gè)可能性，即，同時(shí)對(duì)u(a_i)(i=1,2,……,n)賦值，代人構(gòu)造的就業(yè)期望效用函數(shù)。如果即對(duì)畢業(yè)生來說，a_i最好，a_n最次。如果學(xué)生把a_i看成是a₁與a_n的一個(gè)線性組合一樣好，在他看來，任一個(gè)可能結(jié)果a_i(i=1,2,……,n)總不外是與最好的結(jié)果與最次的結(jié)果之間的某種組合一樣好，即a_i～令u(a_i) ? = p_i即用畢業(yè)生心里那個(gè)使a與某個(gè)單賭等價(jià)的最好事件發(fā)生概率P_i來定義u(a_i)則可構(gòu)建就是期望效用函數(shù)為：。

　　就業(yè)期望效用函數(shù)的意義在于，當(dāng)大學(xué)生面臨不確定性的擇業(yè)、就業(yè)選擇時(shí)，他可以依靠期望效用的極大化來分析自己的選擇是否合理可行，至少可以對(duì)目前的狀況做較規(guī)范的分析。

　　二、效用函數(shù)應(yīng)用實(shí)例

　　假設(shè)目前市場(chǎng)上由三份工作可以選擇，它們的工資分別為A=(3000元，1500元，1000元)括號(hào)中的a₁ = 3000,a₂ = 1500,a₃ = 1000，分別表示可能發(fā)生的三種結(jié)果，這里a₁最好，a₃最次。

　　如果問自己：當(dāng)a發(fā)生的概率(p)等于多少時(shí)使你認(rèn)為a(i=1，2，3)與(p,a₁,a₂)元差異?如果回答是：3000元～(1×(3000元)，0×(1000元)，1500元～(0.6×(3000元)，0.4×(1000元))，1000元～(0×(3000元)，1×(1000元))那么可以定義：

　　u=(3000元) = u(a₁) = 1

　　u=(1500元) = u(a₂) = O.6

　　u=(1000元)=u = (a₃) = O

　　現(xiàn)在可以比較不同尋職格局了。比如：

　　則u(S₁) = 0.2u(1500) + 0.8u(3000) = 0.92

　　由于u(S₁) > u(S₂)即S₁的期望效用大于S₂的期望效用，所以你=定會(huì)偏好于選擇S₁。因此就業(yè)者可以通過自己對(duì)某=行業(yè)的了解及心理自測(cè)的評(píng)價(jià)，利用就業(yè)期望效益較合理評(píng)估自己的想法，尋找更多的機(jī)會(huì)和更合適的工作崗位。