最優(yōu)控制理論是現(xiàn)代控制理論的一個主要分支，著重于研究使控制系統(tǒng)的性能指標實現(xiàn)最優(yōu)化的基本條件和綜合方法。

最優(yōu)控制理論是研究和解決從一切可能的控制方案中尋找最優(yōu)解的一門學(xué)科。它是現(xiàn)代控制理論的重要組成部分。這方面的開創(chuàng)性工作主要是由貝爾曼（R.E.Bellman）提出的動態(tài)規(guī)劃和龐特里亞金等人提出的最大值原理。這方面的先期工作應(yīng)該追溯到維納（N.Wiener）等人奠基的控制論（Cybernetics）。1948年維納發(fā)表了題為《控制論—關(guān)于動物和機器中控制與通訊的科學(xué)》的論文，第一次科學(xué)的提出了信息、反饋和控制的概念，為最優(yōu)控制理論的誕生和發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。錢學(xué)森1954年所著的《工程控制論》（EngineeringCybernetics）直接促進了最優(yōu)控制理論的發(fā)展和形成。

最優(yōu)控制理論所研究的問題可以概括為：對一個受控的動力學(xué)系統(tǒng)或運動過程，從一類允許的控制方案中找出一個最優(yōu)的控制方案，使系統(tǒng)的運動在由某個初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到指定的目標狀態(tài)的同時，其性能指標值為最優(yōu)。這類問題廣泛存在于技術(shù)領(lǐng)域或社會問題中。

例如，確定一個最優(yōu)控制方式使空間飛行器由一個軌道轉(zhuǎn)換到另一軌道過程中燃料消耗最少，選擇一個溫度的調(diào)節(jié)規(guī)律和相應(yīng)的原料配比使化工反應(yīng)過程的產(chǎn)量最多，制定一項最合理的人口政策使人口發(fā)展過程中老化指數(shù)、撫養(yǎng)指數(shù)和勞動力指數(shù)等為最優(yōu)等，都是一些典型的最優(yōu)控制問題。最優(yōu)控制理論是50年代中期在空間技術(shù)的推動下開始形成和發(fā)展起來的。蘇聯(lián)學(xué)者Л.С.龐特里亞金1958年提出的極大值原理和美國學(xué)者R.貝爾曼1956年提出的動態(tài)規(guī)劃，對最優(yōu)控制理論的形成和發(fā)展起了重要的作用。線性系統(tǒng)在二次型性能指標下的最優(yōu)控制問題則是R.E.卡爾曼在60年代初提出和解決的。

最優(yōu)控制理論是現(xiàn)代控制理論中的核心內(nèi)容之一，其主要實質(zhì)是，在滿足一定約束條件下尋求最優(yōu)控制規(guī)律或控制策略，使得系統(tǒng)在規(guī)定的性能指標(目標函數(shù))下具有最優(yōu)值。

動態(tài)規(guī)劃、最大值理論和變分法是最優(yōu)控制理論的基本內(nèi)容和常用方法。

動態(tài)規(guī)劃是貝爾曼于二十世紀五十年代中期為解決多階段決策過程而提出來的。這個方法的關(guān)鍵是建立在他所提出的“最優(yōu)性原理”基礎(chǔ)之上的，這個原理歸結(jié)為用一組基本的遞推關(guān)系式使過程連續(xù)的最優(yōu)轉(zhuǎn)移它可以求這樣的最優(yōu)解，這些最優(yōu)解是以計算每個決策的后果并對今后的決策制定最優(yōu)決策為基礎(chǔ)的，但在求最優(yōu)解時要按倒過來的順序進行，即從最終狀態(tài)開始到初始狀態(tài)為止。

龐特亞金于1956—1958年間創(chuàng)立的最大值原理是經(jīng)典最優(yōu)控制理論的重要組成部分和控制理論發(fā)展史上的一個里程碑。它是解決最優(yōu)控制問題的一種最普遍的有效方法。由于它放寬了求解問題的前提條件，使得許多古典變分法和動態(tài)規(guī)劃法無法解決的工程技術(shù)問題得到了解決。

為了解決最優(yōu)控制問題，必須建立描述受控運動過程的運動方程，給出控制變量的允許取值范圍，指定運動過程的初始狀態(tài)和目標狀態(tài)，并且規(guī)定一個評價運動過程品質(zhì)優(yōu)劣的性能指標。通常，性能指標的好壞取決于所選擇的控制函數(shù)和相應(yīng)的運動狀態(tài)。系統(tǒng)的運動狀態(tài)受到運動方程的約束，而控制函數(shù)只能在允許的范圍內(nèi)選取。因此，從數(shù)學(xué)上看，確定最優(yōu)控制問題可以表述為：在運動方程和允許控制范圍的約束下，對以控制函數(shù)和運動狀態(tài)為變量的性能指標函數(shù)（稱為泛函）求取極值（極大值或極小值）。解決最優(yōu)控制問題的主要方法有古典變分法、極大值原理和動態(tài)規(guī)劃。

一、古典變分法

研究對泛函求極值的一種數(shù)學(xué)方法。古典變分法只能用在控制變量的取值范圍不受限制的情況。在許多實際控制問題中，控制函數(shù)的取值常常受到封閉性的邊界限制，如方向舵只能在兩個極限值范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動，電動機的力矩只能在正負的最大值范圍內(nèi)產(chǎn)生等。因此，古典變分法對于解決許多重要的實際最優(yōu)控制問題，是無能為力的。

二、極大值原理

極大值原理，是分析力學(xué)中哈密頓方法的推廣。極大值原理的突出優(yōu)點是可用于控制變量受限制的情況，能給出問題中最優(yōu)控制所必須滿足的條件。

三、動態(tài)規(guī)劃

動態(tài)規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃的一種，同樣可用于控制變量受限制的情況，是一種很適合于在計算機上進行計算的比較有效的方法。

最優(yōu)控制理論已被應(yīng)用于綜合和設(shè)計最速控制系統(tǒng)、最省燃料控制系統(tǒng)、最小能耗控制系統(tǒng)、線性調(diào)節(jié)器等。

最優(yōu)控制的實現(xiàn)離不開最優(yōu)化技術(shù)，最優(yōu)化技術(shù)是研究和解決最優(yōu)化問題的一門學(xué)科，它研究和解決如何從一切可能的方案中尋找最優(yōu)的方案。也就是說，最優(yōu)化技術(shù)是研究和解決如何將最優(yōu)化問題表示為數(shù)學(xué)模型以及如何根據(jù)數(shù)學(xué)模型盡快求出其最優(yōu)解這兩大問題。一般而言，用最優(yōu)化方法解決實際工程問題可分為三步進行：

①根據(jù)所提出的最優(yōu)化問題，建立最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型，確定變量，列出約束條件和目標函數(shù)；

②對所建立的數(shù)學(xué)模型進行具體分析和研究，選擇合適的最優(yōu)化方法；

③根據(jù)最優(yōu)化方法的算法列出程序框圖和編寫程序，用計算機求出最優(yōu)解，并對算法的收斂性、通用性、簡便性、計算效率及誤差等作出評價。

所謂最優(yōu)化問題，就是尋找一個最優(yōu)控制方案或最優(yōu)控制規(guī)律，使系統(tǒng)能最優(yōu)地達到預(yù)期的目標。在最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型建立后，主要問題是如何通過不同的求解方法解決尋優(yōu)問題。一般而言，最優(yōu)化方式有離線靜態(tài)優(yōu)化方式和在線動態(tài)優(yōu)化方式，而最優(yōu)化問題的求解方法大致可分為四類：

1.解析法

對于目標函數(shù)及約束條件具有簡單而明確的數(shù)學(xué)表達式的最優(yōu)化問題，通?？刹捎媒馕龇▉斫鉀Q。其求解方法是先按照函數(shù)極值的必要條件，用數(shù)學(xué)分析方法求出其解析解，然后按照充分條件或問題的實際物理意義間接地確定最優(yōu)解。

2.數(shù)值解法（直接法）

對于目標函數(shù)較為復(fù)雜或無明確的數(shù)學(xué)表達式或無法用解析法求解的最優(yōu)化問題，通常可采用直接法來解決。直接法的基本思想，就是用直接搜索方法經(jīng)過一系列的迭代以產(chǎn)生點的序列，使之逐步接近到最優(yōu)點。直接法常常是根據(jù)經(jīng)驗或?qū)嶒灦玫降摹?

3.解析與數(shù)值相結(jié)合的尋優(yōu)方法

4.網(wǎng)絡(luò)最優(yōu)化方法

這種方法以網(wǎng)絡(luò)圖作為數(shù)學(xué)模型，用圖論方法進行搜索的尋優(yōu)方法。

1.在線優(yōu)化方法

基于對象數(shù)學(xué)模型的離線優(yōu)化方法是一種理想化方法。這是因為盡管工業(yè)過程（對象）被設(shè)計得按一定的正常工況連續(xù)運行，但是環(huán)境的變動、觸媒和設(shè)備的老化以及原料成分的變動等因素形成了對工業(yè)過程的擾動，因此原來設(shè)計的工況條件就不是最優(yōu)的。

解決此類問題的常見方法。

(1)局部參數(shù)最優(yōu)化和整體最優(yōu)化設(shè)計方法

局部參數(shù)最優(yōu)化方法的基本思想是：按照參考模型和被控過程輸出之差來調(diào)整控制器可調(diào)參數(shù)，使輸出誤差平方的積分達到最小。這樣可使被控過程和參考模型盡快地精確一致。

此外，靜態(tài)最優(yōu)與動態(tài)最優(yōu)相結(jié)合，可變局部最優(yōu)為整體最優(yōu)。整體最優(yōu)由總體目標函數(shù)體現(xiàn)。整體最優(yōu)由兩部分組成：一種是靜態(tài)最優(yōu)（或離線最優(yōu)），它的目標函數(shù)在一段時間或一定范圍內(nèi)是不變的；另一種是動態(tài)最優(yōu)（或在線最優(yōu)），它是指整個工業(yè)過程的最優(yōu)化。工業(yè)過程是一個動態(tài)過程，要讓一個系統(tǒng)始終處于最優(yōu)化狀態(tài)，必須隨時排除各種干擾，協(xié)調(diào)好各局部優(yōu)化參數(shù)或各現(xiàn)場控制器，從而達到整個系統(tǒng)最優(yōu)。

(2)預(yù)測控制中的滾動優(yōu)化算法

預(yù)測控制，又稱基于模型的控制（Model-based Control），是70年代后期興起的一種新型優(yōu)化控制算法。但它與通常的離散最優(yōu)控制算法不同，不是采用一個不變的全局優(yōu)化目標，而是采用滾動式的有限時域優(yōu)化策略。這意味著優(yōu)化過程不是一次離線進行，而是反復(fù)在線進行的。這種有限化目標的局部性使其在理想情況下只能得到全局的次優(yōu)解，但其滾動實施，卻能顧及由于模型失配、時變、干擾等引起的不確定性，及時進行彌補，始終把新的優(yōu)化建立在實際的基礎(chǔ)之上，使控制保持實際上的最優(yōu)。這種啟發(fā)式的滾動優(yōu)化策略，兼顧了對未來充分長時間內(nèi)的理想優(yōu)化和實際存在的不確定性的影響。在復(fù)雜的工業(yè)環(huán)境中，這比建立在理想條件下的最優(yōu)控制更加實際有效。

預(yù)測控制的優(yōu)化模式具有鮮明的特點：它的離散形式的有限優(yōu)化目標及滾動推進的實施過程，使得在控制的全過程中實現(xiàn)動態(tài)優(yōu)化，而在控制的每一步實現(xiàn)靜態(tài)參數(shù)優(yōu)化。用這種思路，可以處理更復(fù)雜的情況，例如有約束、多目標、非線性乃至非參數(shù)等。吸取規(guī)劃中的分層思想，還可把目標按其重要性及類型分層，實施不同層次的優(yōu)化。顯然，可把大系統(tǒng)控制中分層決策的思想和人工智能方法引入預(yù)測控制，形成多層智能預(yù)測控制的模式。這種多層智能預(yù)測控制方法的，將克服單一模型的預(yù)測控制算法的不足，是當前研究的重要方向之一。

(3)穩(wěn)態(tài)遞階控制

對復(fù)雜的大工業(yè)過程（對象）的控制常采用集散控制模式。這時計算機在線穩(wěn)態(tài)優(yōu)化常采用遞階控制結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)既有控制層又有優(yōu)化層，而優(yōu)化層是一個兩級結(jié)構(gòu)，由局部決策單元級和協(xié)調(diào)器組成。其優(yōu)化進程是：各決策單元并行響應(yīng)子過程優(yōu)化，由上一級決策單元（協(xié)調(diào)器）協(xié)調(diào)各優(yōu)化進程，各決策單元和協(xié)調(diào)器通過相互迭代找到最優(yōu)解。這里必須提到波蘭學(xué)者Findeisen等所作出的重要貢獻。

由于工業(yè)過程較精確的數(shù)學(xué)模型不易求得，而且工業(yè)過程（對象）往往呈非線性及慢時變性，因此波蘭學(xué)者Findesien提出：優(yōu)化算法中采用模型求得的解是開環(huán)優(yōu)化解。在大工業(yè)過程在線穩(wěn)態(tài)控制的設(shè)計階段，開環(huán)解可以用來決定最優(yōu)工作點。但在實際使用上，這個解未必能使工業(yè)過程處于最優(yōu)工況，相反還會違反約束。他們提出的全新思想是：從實際過程提取關(guān)聯(lián)變量的穩(wěn)態(tài)信息，并反饋至上一層協(xié)調(diào)器（全局反饋）或局部決策單元（局部反饋），并用它修正基于模型求出的的最優(yōu)解，使之接近真實最優(yōu)解。

(4)系統(tǒng)優(yōu)化和參數(shù)估計的集成研究方法

穩(wěn)態(tài)遞階控制的難點是，實際過程的輸入輸出特性是未知的。波蘭學(xué)者提出的反饋校正機制，得到的只能是一個次優(yōu)解。但其主要缺點在于一般很難準確估計次優(yōu)解偏離最優(yōu)解的程度，而且次優(yōu)解的次優(yōu)程度往往依賴于初始點的選取。一個自然的想法是將優(yōu)化和參數(shù)估計分開處理并交替進行，直到迭代收斂到一個解。這樣計算機的在線優(yōu)化控制就包括兩部分任務(wù)：在粗模型（粗模型通常是能夠得到的）基礎(chǔ)上的優(yōu)化和設(shè)定點下的修正模型。這種方法稱為系統(tǒng)優(yōu)化和參數(shù)估計的集成研究方法。 (Integrated System Optimizationand Parameter Estimation)

2.智能優(yōu)化方法

對于越來越多的復(fù)雜控制對象，一方面，人們所要求的控制性能不再單純的局限于一兩個指標；另一方面，上述各種優(yōu)化方法，都是基于優(yōu)化問題具有精確的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)之上的。但是許多實際工程問題是很難或不可能得到其精確的數(shù)學(xué)模型的。這就限制了上述經(jīng)典優(yōu)化方法的實際應(yīng)用。隨著模糊理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等智能技術(shù)和計算機技術(shù)的發(fā)展。

近年來，智能式的優(yōu)化方法得到了重視和發(fā)展。

(1)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化方法

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究起源于1943年和Mc Culloch和Pitts的工作。在優(yōu)化方面，1982年Hopfield首先引入Lyapuov能量函數(shù)用于判斷網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性，提出了Hopfield單層離散模型；Hopfield和Tank又發(fā)展了Hopfield單層連續(xù)模型。1986年，Hopfield和Tank將電子電路與Hopfield模型直接對應(yīng)，實現(xiàn)了硬件模擬；Kennedy和Chua基于非線性電路理論提出了模擬電路模型，并使用系統(tǒng)微分方程的Lyapuov函數(shù)研究了電子電路的穩(wěn)定性。這些工作都有力地促進了對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化方法的研究。

根據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能量函數(shù)的極小點對應(yīng)于系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡點，這樣能量函數(shù)極小點的求解就轉(zhuǎn)換為求解系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡點。隨著時間的演化，網(wǎng)絡(luò)的運動軌道在空間中總是朝著能量函數(shù)減小的方向運動，最終到達系統(tǒng)的平衡點——即能量函數(shù)的極小點。因此如果把神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動力系統(tǒng)的穩(wěn)定吸引子考慮為適當?shù)哪芰亢瘮?shù)（或增廣能量函數(shù)）的極小點，優(yōu)化計算就從一初始點隨著系統(tǒng)流到達某一極小點。如果將全局優(yōu)化的概念用于控制系統(tǒng)，則控制系統(tǒng)的目標函數(shù)最終將達到希望的最小點。這就是神經(jīng)優(yōu)化計算的基本原理。

與一般的數(shù)學(xué)規(guī)劃一樣，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法也存在著重分析次數(shù)較多的弱點，如何與結(jié)構(gòu)的近似重分析等結(jié)構(gòu)優(yōu)化技術(shù)結(jié)合，減少迭代次數(shù)是今后進一步研究的方向之一。

由于Hopfield模型能同時適用于離散問題和連續(xù)問題，因此可望有效地解決控制工程中普遍存在的混合離散變量非線性優(yōu)化問題。

(2)遺傳算法

遺傳算法和遺傳規(guī)劃是一種新興的搜索尋優(yōu)技術(shù)。它仿效生物的進化和遺傳，根據(jù)“優(yōu)勝劣汰”原則，使所要求解決的問題從初始解逐步地逼近最優(yōu)解。在許多情況下，遺傳算法明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的優(yōu)化方法。該算法允許所求解的問題是非線性的和不連續(xù)的，并能從整個可行解空間尋找全局最優(yōu)解和次優(yōu)解，避免只得到局部最優(yōu)解。這樣可以為我們提供更多有用的參考信息，以便更好地進行系統(tǒng)控制。同時其搜索最優(yōu)解的過程是有指導(dǎo)性的，避免了一般優(yōu)化算法的維數(shù)災(zāi)難問題。遺傳算法的這些優(yōu)點隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，在控制領(lǐng)域中將發(fā)揮越來越大的作用。

目前的研究表明，遺傳算法是一種具有很大潛力的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法。它用于解決非線性結(jié)構(gòu)優(yōu)化、動力結(jié)構(gòu)優(yōu)化、形狀優(yōu)化、拓撲優(yōu)化等復(fù)雜優(yōu)化問題，具有較大的優(yōu)勢。

(3)模糊優(yōu)化方法

最優(yōu)化問題一直是模糊理論應(yīng)用最為廣泛的領(lǐng)域之一。

自從Bellman和L.A.zadeh在 70年代初期對這一研究作出開創(chuàng)性工作以來，其主要研究集中在一般意義下的理論研究、模糊線性規(guī)劃、多目標模糊規(guī)劃、以及模糊規(guī)劃理論在隨機規(guī)劃及許多實際問題中的應(yīng)用。主要的研究方法是利用模糊集的a截集或確定模糊集的隸屬函數(shù)將模糊規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為經(jīng)典的規(guī)劃問題來解決。

模糊優(yōu)化方法與普通優(yōu)化方法的要求相同，仍然是尋求一個控制方案（即一組設(shè)計變量），滿足給定的約束條件，并使目標函數(shù)為最優(yōu)值，區(qū)別僅在于其中包含有模糊因素。普通優(yōu)化可以歸結(jié)為求解一個普通數(shù)學(xué)規(guī)劃問題，模糊規(guī)劃則可歸結(jié)為求解一個模糊數(shù)學(xué)規(guī)劃(fuzzymathematicalprogramming)問題。包含控制變量、目標函數(shù)和約束條件，但其中控制變量、目標函數(shù)和約束條件可能都是模糊的，也可能某一方面是模糊的而其它方面是清晰的。例如模糊約束的優(yōu)化設(shè)計問題中模糊因素是包含在約束條件（如幾何約束、性能約束和人文約束等）中的。求解模糊數(shù)學(xué)規(guī)劃問題的基本思想是把模糊優(yōu)化轉(zhuǎn)化為非模糊優(yōu)化即普通優(yōu)化問題。方法可分為兩類：一類是給出模糊解（fuzzysolution）；另一類是給出一個特定的清晰解（crispsolution）。必須指出，上述解法都是對于模糊線性規(guī)劃（fuzzylinearprogramming）提出的。然而大多數(shù)實際工程問題是由非線形模糊規(guī)劃（fuzzynonlinearprogramming）加以描述的。于是有人提出了水平截集法、限界搜索法和最大水平法等，并取得了一些可喜的成果。

在控制領(lǐng)域中，模糊控制與自學(xué)習算法、模糊控制與遺傳算法相融合，通過改進學(xué)習算法、遺傳算法，按給定優(yōu)化性能指標，對被控對象進行逐步尋優(yōu)學(xué)習，從而能夠有效地確定模糊控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。