在通過(guò)找到滿足租賃交易各個(gè)期間所支付的最低租金支付額及租賃期滿時(shí)租賃資產(chǎn)估計(jì)殘值的折現(xiàn)值等于租賃資產(chǎn)的公平價(jià)值的折現(xiàn)率，即租賃利率的方法中，內(nèi)插法是在逐步法的基礎(chǔ)上，找到兩個(gè)接近準(zhǔn)確答案的利率值，利用函數(shù)的連續(xù)性原理，通過(guò)假設(shè)關(guān)于租賃利率的租賃交易各個(gè)期間所支付的最低租金支付額及租賃期滿時(shí)租賃資產(chǎn)估計(jì)殘值的折現(xiàn)值與租賃資產(chǎn)的公平價(jià)值之差的函數(shù)為線性函數(shù)，求得在函數(shù)值為零時(shí)的折現(xiàn)率，就是租賃利率。

數(shù)學(xué)內(nèi)插法即“直線插入法”。其原理是，若A(i1,b1),B(i2,b2)為兩點(diǎn)，則點(diǎn)P（i,b)在上述兩點(diǎn)確定的直線上。而工程上常用的為i在i1,i2之間，從而P在點(diǎn)A、B之間，故稱“直線內(nèi)插法”。

數(shù)學(xué)內(nèi)插法說(shuō)明點(diǎn)P反映的變量遵循直線AB反映的線性關(guān)系。

上述公式易得。A、B、P三點(diǎn)共線，則

(b-b1)/(i-i1)＝（b2-b1)/(i2-i1)=直線斜率，變換即得所求。

內(nèi)插法在財(cái)務(wù)管理中應(yīng)用很廣泛，如在貨幣時(shí)間價(jià)值的計(jì)算中，求利率i，求年限n;在債券估價(jià)中，求債券的到期收益率；在項(xiàng)目投資決策指標(biāo)中，求內(nèi)含報(bào)酬率。中級(jí)和CPA教材中都沒(méi)有給出內(nèi)插法的原理，很多同學(xué)都不太理解是怎么一回事。下面我們結(jié)合實(shí)例來(lái)講講內(nèi)插法在財(cái)務(wù)管理中的應(yīng)用。

一、在內(nèi)含報(bào)酬率中的計(jì)算

內(nèi)插法在內(nèi)含報(bào)酬率的計(jì)算中應(yīng)用較多。內(nèi)含報(bào)酬率是使投資項(xiàng)目的凈現(xiàn)值等于零時(shí)的折現(xiàn)率，通過(guò)內(nèi)含報(bào)酬率的計(jì)算，可以判斷該項(xiàng)目是否可行，如果計(jì)算出來(lái)的內(nèi)含報(bào)酬率高于必要報(bào)酬率，則方案可行；如果計(jì)算出來(lái)的內(nèi)含報(bào)酬率小于必要報(bào)酬率，則方案不可行。一般情況下，內(nèi)含報(bào)酬率的計(jì)算都會(huì)涉及到內(nèi)插法的計(jì)算。不過(guò)一般要分成這樣兩種情況：

1.如果某一個(gè)投資項(xiàng)目是在投資起點(diǎn)一次投入，經(jīng)營(yíng)期內(nèi)各年現(xiàn)金流量相等，而且是后付年金的情況下，可以先按照年金法確定出內(nèi)含報(bào)酬率的估計(jì)值范圍，再利用內(nèi)插法確定內(nèi)含報(bào)酬率

2.如果上述條件不能同時(shí)滿足，就不能按照上述方法直接求出，而是要通過(guò)多次試誤求出內(nèi)含報(bào)酬率的估值范圍，再采用內(nèi)插法確定內(nèi)含報(bào)酬率。

下面我們舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子進(jìn)行說(shuō)明：

某公司現(xiàn)有一投資方案，資料如下：

初始投資一次投入4000萬(wàn)元，經(jīng)營(yíng)期三年，最低報(bào)酬率為10%，經(jīng)營(yíng)期現(xiàn)金凈流量有如下兩種情況：（1）每年的現(xiàn)金凈流量一致，都是1600萬(wàn)元；（2）每年的現(xiàn)金凈流量不一致，第一年為1200萬(wàn)元，第二年為1600萬(wàn)元，第三年為2400萬(wàn)元。

問(wèn)在這兩種情況下，各自的內(nèi)含報(bào)酬率并判斷兩方案是否可行。

根據(jù)（1）的情況，知道投資額在初始點(diǎn)一次投入，且每年的現(xiàn)金流量相等，都等于1600萬(wàn)元，所以應(yīng)該直接按照年金法計(jì)算，則

NPV=1600×(P/A，I，3)－4000

由于內(nèi)含報(bào)酬率是使投資項(xiàng)目?jī)衄F(xiàn)值等于零時(shí)的折現(xiàn)率，

所以　令NPV=0

則：1600×(P/A，I，3)－4000=0

(P/A，I，3)=4000÷1600=2.5

查年金現(xiàn)值系數(shù)表，確定2.5介于2.5313(對(duì)應(yīng)的折現(xiàn)率i為9%)和2.4869(對(duì)應(yīng)的折現(xiàn)率I為10％)，可見內(nèi)含報(bào)酬率介于9％和10％之間，根據(jù)上述插值法的原理，可設(shè)內(nèi)含報(bào)酬率為I,

則根據(jù)原公式：

(i2-i1)/(i-i1)=( β2-β1)/( β-β1).

i2 =10%，i1=9%，則這里β表示系數(shù)，β2=2.4689，β1=2.5313，

而根據(jù)上面的計(jì)算得到β等于2.5，所以可以列出如下式子：

（10%-9%）/（I-9%）=（2.4689-2.5313）/（2.5-2.5313），解出I等于9.5%，因?yàn)槠髽I(yè)的最低報(bào)酬率為10%，內(nèi)含報(bào)酬率小于10%，所以該方案不可行

根據(jù)（2）的情況，不能直接用年金法計(jì)算，而是要通過(guò)試誤來(lái)計(jì)算。

這種方法首先應(yīng)設(shè)定一個(gè)折現(xiàn)率i1，再按該折現(xiàn)率將項(xiàng)目計(jì)算期的現(xiàn)金流量折為現(xiàn)值，計(jì)算出凈現(xiàn)值NPV1；如果NPV1＞0，說(shuō)明設(shè)定的折現(xiàn)率i1小于該項(xiàng)目的內(nèi)含報(bào)酬率，此時(shí)應(yīng)提高折現(xiàn)率為i2，并按i2重新計(jì)算該投資項(xiàng)目?jī)衄F(xiàn)值NPV2；如果NPV1<0，說(shuō)明設(shè)定的折現(xiàn)率i1大于該項(xiàng)目的內(nèi)含報(bào)酬率，此時(shí)應(yīng)降低折現(xiàn)率為i2，并按i2重新將項(xiàng)目計(jì)算期的現(xiàn)金流量折算為現(xiàn)值，計(jì)算凈現(xiàn)值NPV2。

經(jīng)過(guò)上述過(guò)程，如果此時(shí)NPV2與NPV1的計(jì)算結(jié)果相反，即出現(xiàn)凈現(xiàn)值一正一負(fù)的情況，試誤過(guò)程即告完成，因?yàn)榱憬橛谡?fù)之間(能夠使投資項(xiàng)目?jī)衄F(xiàn)值等于零時(shí)的折現(xiàn)率才是內(nèi)部收益率)，此時(shí)可以用插值法計(jì)算了；但如果此時(shí)NPV2與NPV1的計(jì)算結(jié)果符號(hào)相同，即沒(méi)有出現(xiàn)凈現(xiàn)值一正一負(fù)的情況，就繼續(xù)重復(fù)進(jìn)行試誤工作，直至出現(xiàn)凈現(xiàn)值一正一負(fù)。本題目先假定內(nèi)含報(bào)酬率為10%，則：

NPV1=1200×0.9091+1600×0.8264+2400×0.7513-4000=216.8萬(wàn)

因?yàn)镹PV1大于0，所以提高折現(xiàn)率再試，設(shè)I=12%, NPV2=1200×0.8929+1600×0.7972+2400×0.7118-4000=55.32萬(wàn)

仍舊大于0，則提高折現(xiàn)率I=14%再試，NPV3=1200×0.8772 +16000×7695+2400×0.6750-4000=-96.19萬(wàn)

現(xiàn)在NPV2 ＞0，而 NPV3＜0（注意這里要選用離得最近的兩組數(shù)據(jù)），所以按照內(nèi)插法計(jì)算內(nèi)含報(bào)酬率，設(shè)i2 =14%，i1=12%，則 β2=-96.19，β1=55.32，β=0根據(jù)

（i2-i1）/(i-i1)=( β2-β1)/( β-β1)

有這樣的方程式：（14%-12%）/（i-12%）=（-96.19-55.32）/（0-55.329）

解得I=12.73%，因?yàn)榇笥诒匾獔?bào)酬率，所以該方案可以選擇。

二、在差額內(nèi)含報(bào)酬率中的計(jì)算

在進(jìn)行多個(gè)項(xiàng)目投資方案的比較時(shí)，如果各個(gè)方案的投資額不相等或項(xiàng)目經(jīng)營(yíng)期不同，可以用差額內(nèi)含報(bào)酬率法進(jìn)行選擇。差額內(nèi)含報(bào)酬率法，是指在原始投資額不同的兩個(gè)方案的差額凈現(xiàn)金流量△NCF的基礎(chǔ)上，計(jì)算差額內(nèi)含報(bào)酬率△IRR，并根據(jù)結(jié)果選擇投資項(xiàng)目的方法。當(dāng)差額內(nèi)含報(bào)酬率指標(biāo)大于基準(zhǔn)收益率或必要報(bào)酬率時(shí)，原始投資額大的方案較優(yōu)；反之，應(yīng)該選擇原始投資額小的方案（注意這里的差額都是用原始投資數(shù)額較大的方案減去原始投資小的方案）。

下面簡(jiǎn)單舉個(gè)相關(guān)的例子：

某公司現(xiàn)有兩個(gè)投資項(xiàng)目，其中

A項(xiàng)目初始投資為20000，經(jīng)營(yíng)期現(xiàn)金流入分別為：第一年11800，第二年13240，第三年沒(méi)有流入；

B項(xiàng)目初始投資為9000，經(jīng)營(yíng)期現(xiàn)金流入分別為：第一年1200，第二年6000，第三年6000；

該公司的必要報(bào)酬率是10%，如果項(xiàng)目A和B是不相容的，則應(yīng)該選擇哪個(gè)方案？

根據(jù)本題目，初始差額投資為：

△NCF0=20000-9000=11000萬(wàn)

各年現(xiàn)金流量的差額為：

△NCF1=11800-1200=10600萬(wàn)

△NCF2=13240-6000=7240萬(wàn)

△NCF3=0-6000=－6000萬(wàn)

首先用10%進(jìn)行測(cè)試，則NPV1=10600×0.9091+7240×0.8264+（-6000）×0.7513-11000=117.796萬(wàn)

因?yàn)镹PV1＞0，所以提高折現(xiàn)率再試，設(shè)I=12%,則有NPV2=10600×0.8929+7240×0.7972+（-6000）×0.7118-11000=-34.33萬(wàn)

現(xiàn)在NPV1＞0，而NPV2＜0（注意這里要選用離得最近的兩組數(shù)據(jù)），所以按照內(nèi)插法計(jì)算內(nèi)含報(bào)酬率。

設(shè)i2 =12%，i1=10%，則 β2=－34.33，β1=117.796，β=0，則根據(jù)（i2-i1）/(i-i1)=( β2-β1)/( β-β1)，有這樣的方程式：

（12%-10%）/（I-12%）=（-34.33-117.796）/（0-117.796），解得I=11.54%，因?yàn)榇笥诒匾獔?bào)酬率，所以應(yīng)該選擇原始投資額大的A方案。

三、在債券的到期收益率中的計(jì)算

除了將插值法用于內(nèi)含報(bào)酬率的計(jì)算外，在計(jì)算債券的到期收益率時(shí)也經(jīng)常用到。如果是平價(jià)發(fā)行的每年付息一次的債券，那么其到期收益率等于票面利率，如果債券的價(jià)格高于面值或者低于面值，每年付息一次時(shí)，其到期收益率就不等于票面利率了，具體等于多少，就要根據(jù)上述試誤法，一步一步測(cè)試，計(jì)算每年利息×年金現(xiàn)值系數(shù)+面值×復(fù)利現(xiàn)值系數(shù)的結(jié)果，如果選擇的折現(xiàn)率使得計(jì)算結(jié)果大于發(fā)行價(jià)格，則需要進(jìn)一步提高折現(xiàn)率，如果低于發(fā)行價(jià)格，則需要進(jìn)一步降低折現(xiàn)率，直到一個(gè)大于發(fā)行價(jià)格，一個(gè)小于發(fā)行價(jià)格，就可以通過(guò)內(nèi)插法計(jì)算出等于發(fā)行價(jià)格的到期收益率。總的來(lái)說(shuō)，這種內(nèi)插法比較麻煩，教材上給出了一種簡(jiǎn)便算法：

R=[I+(M-P)÷N]/[（M+P）÷2]

這里I表示每年的利息，M表示到其歸還的本金，P表示買價(jià)，N表示年數(shù)。例如某公司用1105元購(gòu)入一張面額為1000元的債券，票面利率為8%，5年期，每年付息一次，則債券的到期收益率為：

R= [80+(1000-1105)÷5]/[（1000+1105）÷2]=5.6%

可以看出，其到期收益率與票面利率8%不同，不過(guò)這種簡(jiǎn)便做法在考試時(shí)沒(méi)有作出要求，相比較而言，對(duì)于基本的內(nèi)插法，大家一定要理解并學(xué)會(huì)運(yùn)用。

魏紅梅[轉(zhuǎn)自財(cái)考網(wǎng)]