標(biāo)準(zhǔn)偏差

1什么是標(biāo)準(zhǔn)偏差 2樣本標(biāo)準(zhǔn)差的表示公式 3標(biāo)準(zhǔn)偏差的使用方法 4標(biāo)準(zhǔn)偏差的計算步驟 5六個計算標(biāo)準(zhǔn)偏差的公式[1] 6標(biāo)準(zhǔn)偏差的應(yīng)用實例[1] 7標(biāo)準(zhǔn)偏差與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別

1.什么是標(biāo)準(zhǔn)偏差

標(biāo)準(zhǔn)偏差（也稱標(biāo)準(zhǔn)離差或均方根差）是反映一組測量數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計指標(biāo)。是指統(tǒng)計結(jié)果在某一個時段內(nèi)誤差上下波動的幅度。是正態(tài)分布的重要參數(shù)之一。是測量變動的統(tǒng)計測算法。它通常不用作獨立的指標(biāo)而與其它指標(biāo)配合使用。

標(biāo)準(zhǔn)偏差在誤差理論、質(zhì)量管理、計量型抽樣檢驗等領(lǐng)域中均得到了廣泛的應(yīng)用。因此, 標(biāo)準(zhǔn)偏差的計算十分重要, 它的準(zhǔn)確與否對器具的不確定度、測量的不確定度以及所接收產(chǎn)品的質(zhì)量有重要影響。然而在對標(biāo)準(zhǔn)偏差的計算中, 不少人不論測量次數(shù)多少, 均按貝塞爾公式計算。

2.樣本標(biāo)準(zhǔn)差的表示公式

　　數(shù)學(xué)表達式：

　　 $S=sqrt{frac{sum^{n}_{i=1}left(x_i-bar{x}right)^2}{n-1}}=sqrt{frac{left(x_1-bar{x}right)^2+left(x_2-bar{x}right)^2+cdots +left(x_n-bar{x}right)^2}{n-1}}$

S-標(biāo)準(zhǔn)偏差（%）
n-試樣總數(shù)或測量次數(shù)，一般n值不應(yīng)少于20-30個
i-物料中某成分的各次測量值，1～n；

3.標(biāo)準(zhǔn)偏差的使用方法

標(biāo)準(zhǔn)偏差使用方法示圖

在價格變化劇烈時，該指標(biāo)值通常很高。

如果價格保持平穩(wěn)，這個指標(biāo)值不高。

在價格發(fā)生劇烈的上漲/下降之前，該指標(biāo)值總是很低。

4.標(biāo)準(zhǔn)偏差的計算步驟

標(biāo)準(zhǔn)偏差的計算步驟是：

步驟一、(每個樣本數(shù)據(jù) －樣本全部數(shù)據(jù)之平均值 $) 2$ 。

步驟二、把步驟一所得的各個數(shù)值相加。

步驟三、把步驟二的結(jié)果除以 (n - 1)（“n”指樣本數(shù)目）。

步驟四、從步驟三所得的數(shù)值之平方根就是抽樣的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

5.六個計算標(biāo)準(zhǔn)偏差的公式[1]

標(biāo)準(zhǔn)偏差的理論計算公式

　　設(shè)對真值為X的某量進行一組等精度測量, 其測得值為l₁、l₂、……l_n。令測得值l與該量真值X之差為真差占σ, 則有　　　　σ₁ = l_i ? X

　　σ₂ = l₂ ? X

　　……

　　σ_n = l_n ? X

　　我們定義標(biāo)準(zhǔn)偏差(也稱標(biāo)準(zhǔn)差)σ為

　　 $sigma=lim_{n to infty}sqrt{frac{1}{n}sum^{n}_{i=1}sigma^2_{i}}$

　　 $=lim_{n to infty}sqrt{frac{1}{n}sum^{n}_{i=1}(l_i-X)^2}$ （1）

　　由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就無法求得, 故式只有理論意義而無實用價值。

標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的常用估計—貝塞爾公式

　　由于真值是不可知的, 在實際應(yīng)用中, 我們常用n次測量的算術(shù)平均值 $bar{L}(bar{L}=frac{l-1+l_2+cdots+l_n}{n})$ 來代表真值。理論上也證明, 隨著測量次數(shù)的增多, 算術(shù)平均值最接近真值, 當(dāng) $n to infty$ 時, 算術(shù)平均值就是真值。

　　于是我們用測得值l_i與算術(shù)平均值 $bar{L}$ 之差——剩余誤差（也叫殘差）V_i來代替真差σ , 即

　　 $V_i=L_i-bar{L}$

　　設(shè)一組等精度測量值為l₁、l₂、……l_n

　　則　 $V_1=l_1-bar{L}$

　　　　 $V_2=l_2-bar{L}$

　　　　……

　　　　 $V_n=l_n-bar{L}$

　　通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得真差σ與剩余誤差V的關(guān)系為

　　 $sum^{n}_{i=1}sigma^2_{i}=frac{n}{n-1}sum^{n}_{i=1}V^2-i$

　　將上式代入式(1)有

　　 $sigma=sqrt{frac{1}{n}sum^{n}_{i=1}sigma^2_i}=sqrt{frac{1}{n}frac{n}{n-1}sum^{n}_{n-1}V^2_i}$

　　 $=sqrt{frac{1}{n-1}sum^{n}_{i=1}(l_i-bar{L})^2}$ 　　　(2)

　　式(2)就是著名的貝塞爾公式(Bessel)。

　　它用于有限次測量次數(shù)時標(biāo)準(zhǔn)偏差的計算。由于當(dāng) $n to infty$ 時， $bar{L} to x,(n-1) to infty$ ,可見貝塞爾公式與σ的定義式(1)是完全一致的。

　　應(yīng)該指出, 在n有限時, 用貝塞爾公式所得到的是標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的一個估計值。它不是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ。因此, 我們稱式(2)為標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的常用估計。為了強調(diào)這一點, 我們將σ的估計值用“S ” 表示。于是, 將式(2)改寫為

　　 $S=sqrt{frac{1}{n-1}sum^{n}_{i=1}(l_i-bar{L})^2}$ 　　(2')

　　在求S時, 為免去求算術(shù)平均值 $bar{L}$ 的麻煩, 經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)(過程從略)有

　　 $sum^{n}_{i=1}(l_i-bar{L})^2=sum^{n}_{i=1}l^2_i-frac{(sum^{n}_{i=1})^2}{n}$

　　于是, 式(2')可寫為

　　 $s=sqrt{frac{1}{n-1}left(sum^{n}_{i=1}l^2_i-frac{left(sum^n_{i=1}l_iright)^2}{n}right)}$ 　　(2")

　　按式(2")求S時, 只需求出各測得值的平方和 $sum^n_{i=1}l^2_i$ 和各測得值之和的平方藝 $(sum^n_{i=1})^2$ , 即可。

標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的無偏估計

　　數(shù)理統(tǒng)計中定義S²為樣本方差

　　 $S^2=frac{1}{n-1}sum^{n}_{i=1}(l_i-bar{L})^2$

　　數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明S²是總體方差σ²的無偏估計。即在大量重復(fù)試驗中, S²圍繞σ²散布, 它們之間沒有系統(tǒng)誤差。而式(2')在n有限時,S并不是總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的無偏估計, 也就是說S和σ之間存在系統(tǒng)誤差。概率統(tǒng)計告訴我們, 對于服從正態(tài)分布的正態(tài)總體, 總體標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的無偏估計值 $hat{sigma}$ 為

　　 $hat{sigma}=S_1=sqrt{frac{n-1}{2}}frac{Gammaleft(frac{n-1}{2}right)}{Gammaleft(frac{n}{2}right)}sqrt{frac{1}{n-1}sum^{n}_{i=1}(l_i-bar{L})^2}$ 　　(3)

　　令 $K_{sigma}=sqrt{frac{n-1}{2}}frac{Gammaleft(frac{n-1}{2}right)}{Gammaleft(frac{n}{2}right)}$

　　則 $hat{sigma}=S_1=K_{sigma}S$

　　即S₁和S僅相差一個系數(shù)K_σ,K_σ是與樣本個數(shù)測量次數(shù)有關(guān)的一個系數(shù), K_σ值見表。

　　計算K_σ時用到

　　Γ(n + 1) = nΓ(n)

　　 $Gamma(frac{1}{2})=sqrt{pi}$

　　Γ(1) = 1

　　標(biāo)準(zhǔn)偏差K值

　　由表1知, 當(dāng)n>30時, $K_{sigma}=1.0087approx 1$ 。因此, 當(dāng)n>30時, 式(3')和式(2')之間的差異可略而不計。在n=30～50時, 最宜用貝塞爾公式求標(biāo)準(zhǔn)偏差。當(dāng)n<10時, 由于K_σ值的影響已不可忽略, 宜用式(3'), 求標(biāo)準(zhǔn)偏差。這時再用貝塞爾公式顯然是不妥的。

標(biāo)準(zhǔn)偏差的最大似然估計

　　將σ的定義式(1)中的真值X用算術(shù)平均值 $bar{L}$ 代替且當(dāng)n有限時就得到

　　 $S_2=sqrt{frac{1}{n}sum^{n}_{i=1}(l_i-bar{L})^2}$

　　 $=sqrt{frac{1}{n}left(sum^{n}_{i=1}l^2_i-frac{sum_{i=1}^{n}(l_i)^2}{n}right)}$ 　　(4)

　　式(4)適用于n>50時的情況, 當(dāng)n>50時,n和(n-1)對計算結(jié)果的影響就很小了。

　　2.5標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的極差估計由于以上幾個標(biāo)準(zhǔn)偏差的計算公式計算量較大, 不宜現(xiàn)場采用, 而極差估計的方法則有運算簡便, 計算量小宜于現(xiàn)場采用的特點。

　　極差用"R"表示。所謂極差就是從正態(tài)總體中隨機抽取的n個樣本測得值中的最大值與最小值之差。

　　若對某量作次等精度測量測得l₁、 $l_2cdots l_n$ ，且它們服從正態(tài)分布, 則

　　R = l_max ? l_min

　　概率統(tǒng)計告訴我們用極差來估計總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的計算公式為

　　 $S_3=frac{1}{d_2}R$ 　　(5)

　　S₃稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的無偏極差估計, d₂為與樣本個數(shù)n(測得值個數(shù))有關(guān)的無偏極差系數(shù), 其值見表2

　　標(biāo)準(zhǔn)偏差表2

　　由表2知, 當(dāng)n≤15時, $a_2approxsqrt{n}$ , 因此, 標(biāo)準(zhǔn)偏差σ更粗略的估計值為

　　 $S'_3=frac{1}{sqrt{n}}R$ 　　(5')

　　還可以看出, 當(dāng)200≤n≤1000時， $d_2approx 6$ 因而又有

　　 $S'_3=frac{1}{6}R$ 　　(5")

　　顯然, 不需查表利用式(5')和(5")了即可對標(biāo)準(zhǔn)偏差值作出快速估計, 用以對用貝塞爾公式及其他公式的計算結(jié)果進行校核。

　　應(yīng)指出,式(5)的準(zhǔn)確度比用其他公式的準(zhǔn)確度要低, 但當(dāng)5≤n≤15時,式(5)不僅大大提高了計算速度, 而且還頗為準(zhǔn)確。當(dāng)n>10時, 由于舍去數(shù)據(jù)信息較多, 因此誤差較大, 為了提高準(zhǔn)確度, 這時應(yīng)將測得值分成四個或五個一組, 先求出各組的極差R₁、 $R_2cdots R_k$ , 再由各組極差求出極差平均值 $bar{R}$ 。

　　 $bar{R}=frac{R_1+R_2+cdots+R_K}{K}$

　　極差平均值 $bar{R}$ 和總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的關(guān)系為

　　 $S_3=frac{1}{d_2}bar{R}$

　　需指出, 此時d₂大小要用每組的數(shù)據(jù)個數(shù)n而不是用數(shù)據(jù)總數(shù)N(=nK)去查表2。再則, 分組時一定要按測得值的先后順序排列,不能打亂或顛倒。

標(biāo)準(zhǔn)偏差σ的平均誤差估計

　　平均誤差的定義為

　　 $eta=lim_{n to infty}frac{left|delta_1right|+left|delta_2right|+cdots +left|delta_nright|}{n}$

　　 $=frac{sum^{n}_{i=1}left|delta_1right|}{n}$

　　誤差理論給出

　　 $eta=sqrt{frac{2}{pi}}delta=0.7979sigmaapproxfrac{4}{5}sigma$ 　　(A)

　　可以證明 $sum^{n}_{i=1}left|delta_i right|$ 與 $sum^{n}_{i=1}left|V_iright|$ 的關(guān)系為

　　(證明從略)

　　 $sum^{n}_{i=1}left|delta_iright|=sqrt{frac{n}{n-1}}sum^{n}_{i=1} left| V_i right|$

　　于是　　 $eta=frac{sum^{n}_{i=1}left|delta_iright|}{n}=frac{sum^{n}_{i=1}left|V_iright|}{sqrt{n(n-1)}}$ 　　(B)

　　由式(A)和式(B)得

　　 $frac{sum^{n}_{i=1}left|V_iright|}sqrt{n(n-1)}=sqrt{frac{2}{pi}}sigma$

　　從而有

　　 $S_4=hat{delta}=sqrt{frac{pi}{2}}frac{sum^{n}_{i=1}left|V_iright|}{sqrt{n(n-1)}}$

　　 $=1.2533frac{sum^{n}_{i=1}left|V_iright|}{sqrt{n(n-1)}}$

　　 $approxfrac{5}{4}frac{sum^{n}_{i=1}left|V_iright|}{sqrt{n(n-1)}}$

　　式(6)就是佩特斯(C.A.F.Peters.1856)公式。用該公式估計δ值, 由于right|Vright|不需平方,故計算較為簡便。但該式的準(zhǔn)確度不如貝塞爾公式。該式使用條件與貝塞爾公式相似。

6.標(biāo)準(zhǔn)偏差的應(yīng)用實例[1]

　　對標(biāo)稱值R_a = 0.160 < math > μm < math > 的一塊粗糙度樣塊進行檢定, 順次測得以下15個數(shù)據(jù):1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64,1.74和1.63μm, 試求該樣塊R_n的平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差并判斷其合格否。

　　解：1)先求平均值 $bar{L}$

　　 $bar{L}=1.60+frac{-12+5+0+7-8-14+12+9+17+4-4-10+4+4+3}{15times 100}$

　　 $=1.60+frac{27}{15times 100}=1.618(<math>mu m<math>)$

　　2)再求標(biāo)準(zhǔn)偏差S

　　若用無偏極差估計公式式(5)計算, 首先將測得的, 15個數(shù)據(jù)按原順序分為三組, 每組五個, 見表3。

　　表3

組號	l_1		l_5		R
1	1.48	1.65	1.60	1.67	1.52	0.19
2	1.46	1.72	1.69	1.77	1.64	0.31
3	1.56	1.50	1.64	1.74	1.63	0.24

因每組為5個數(shù)據(jù), 按n=5由表2查得 $frac{1}{d_2}=0.43$

　　故

　　 $S_3=frac{1}{d_2}bar{R}=0.43times0.247=0.10621(<math>mu m<math>)$

　　若按常用估計即貝塞爾公式式(2') , 則

　　 $S=sqrt{frac{1}{n-1}sum^{n}_{i=1}(l_i-bar{L})^2}=0.0962(<math>mu m<math>)$

　　若按無偏估計公式即式(3')計算, 因n=15，由表1查得K_δ = 1.018, 則

　　 $S_1=K_{delta}S=1.018times 0.0962=0.09793(<math>mu m<math>)$

　　若按最大似然估計公式即式(4')計算, 則

　　 $S_2=sqrt{frac{1}{n}left[sum^n_{i=1}l^2_i-frac{(sum^n_{i=1}l_i)^2}{n}right]}$

　　 $=sqrt{frac{1}{15}timesleft(39.3985-frac{24.27^2}{15}right)}$

　　 = 0.09296( < math > μm < math > )

　　若按平均誤差估計公式即式(6), 則

　　 $S_4=1.2533frac{sum^{n}_{i=1}|V_i|}{sqrt{n(n-1)}}$

　　 $=1.2533timesfrac{1.176}{sqrt{15times 14}}=0.1017(<math>mu m<math>)$

　　現(xiàn)在用式(5')對以上計算進行校核

　　 $S'_3=frac{1}{sqrt{n}}bar{R}=frac{1}{sqrt{15}}times 0.247=0.0637(<math>mu m<math>)$

　　可見以上算得的S、S₁、S₂、S₃和S₄沒有粗大誤差。

　　由以上計算結(jié)果可知0.09296<0.0962<0.0979<0.1017<0.1062

　　即　S₂ < S < S₁ < S₄ < S₃

　　可見, 最大似然估計值最小, 常用估計值S稍大, 無偏估計值S₁又大, 平均誤差估計值S₄再大, 極差估計值S₃最大?？v觀這幾個值, 它們相當(dāng)接近, 最大差值僅為0.01324μm。從理論上講, 用無偏估計值和常用估計比較合適, 在本例中, 它們僅相差0.0017μm?？梢韵嘈? 隨著的增大, S、S₁、S₂、S₃和S₄之間的差別會越來越小。

　　就本例而言, 無偏極差估計值S₃和無偏估計值S₁僅相差0.0083μm, 這說明無偏極差估計是既可以保證一定準(zhǔn)確度計算又簡便的一種好方法。

　　JJG102-89《表面粗糙度比較樣塊》規(guī)定R_a的平均值對其標(biāo)稱值的偏離不應(yīng)超過+12%～17%, 標(biāo)準(zhǔn)偏差應(yīng)在標(biāo)稱值的4%～12%之間。已得本樣塊二產(chǎn), $bar{L}=1.618mu m,S_3=0.1062mu m$ 產(chǎn)均在規(guī)定范圍之內(nèi), 故該樣塊合格。

7.標(biāo)準(zhǔn)偏差與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別

標(biāo)準(zhǔn)差(Standard Deviation)各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的距離（離均差）的平均數(shù)，它是離差平方和平均后的方根。用σ表示。因此，標(biāo)準(zhǔn)差也是一種平均數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根。標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標(biāo)準(zhǔn)差未必相同。

例如，A、B兩組各有6位學(xué)生參加同一次語文測驗，A組的分?jǐn)?shù)為95、85、75、65、55、45，B組的分?jǐn)?shù)為73、72、71、69、68、67。這兩組的平均數(shù)都是70，但A組的標(biāo)準(zhǔn)差為17.08分，B組的標(biāo)準(zhǔn)差為2.16分，說明A組學(xué)生之間的差距要比B組學(xué)生之間的差距大得多。

標(biāo)準(zhǔn)偏差(Std Dev,Standard Deviation) - 統(tǒng)計學(xué)名詞。一種量度數(shù)據(jù)分布的分散程度之標(biāo)準(zhǔn)，用以衡量數(shù)據(jù)值偏離算術(shù)平均值的程度。標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，這些值偏離平均值就越少，反之亦然。標(biāo)準(zhǔn)偏差的大小可通過標(biāo)準(zhǔn)偏差與平均值的倍率關(guān)系來衡量。

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