法國管理顧問格拉丘納斯（V. A. Graicunas）在1933 年首次發(fā)表的一篇論文中，分析了上下級(jí)之間可能存在的關(guān)系，并提出了一個(gè)用來計(jì)算在任何管理寬度下，可能存在的人際關(guān)系數(shù)的數(shù)學(xué)模型。他的理論把上下級(jí)關(guān)系分為三種類型：

（一）直接的單一關(guān)系。指上級(jí)直接地、個(gè)別地與其直屬下級(jí)發(fā)生聯(lián)系。

（二）直接的組合關(guān)系。存在于上級(jí)與其下屬人員的各種可能組合之間的聯(lián)系。

（三）交叉關(guān)系。即下屬彼此打交道的聯(lián)系。

如果A 有三個(gè)下屬B、C、 D，那么他們之間存在的這三種關(guān)系如表1 所示。

表1

可能有人會(huì)認(rèn)為類似A→B 和C 與A→C 和B 這樣的關(guān)系是一樣的，但格拉丘納斯認(rèn)為是不同的。因?yàn)槠渲杏幸粋€(gè)由“以誰為主”的問題所造成的心理狀態(tài)。

通過這三種上下級(jí)關(guān)系的分析，格拉丘納斯認(rèn)為，在管理寬度的算術(shù)級(jí)數(shù)增加時(shí)，主管人員和下屬間可能存在的互相交往的人際關(guān)系數(shù)幾乎將以幾何級(jí)數(shù)增加。據(jù)此，他提出了一個(gè)可以用在任何管理寬度下計(jì)算上下級(jí)人際關(guān)系數(shù)目的經(jīng)驗(yàn)公式：

C = n[2^{n − 1} + (n − 1)]　或　

式中，C── 各種可能存在的聯(lián)系總數(shù)，即關(guān)系數(shù)；

N── 一個(gè)管理者直接控制的下屬人數(shù)，即管理幅度。

當(dāng)N＝1，C＝1； N＝2，C＝6； N＝3，C＝18； N＝10，C＝5210

根據(jù)這一公式，不同下屬人數(shù)的可能關(guān)系數(shù)可見表2。

表2

由此可見，隨著管理寬度的增加，上下級(jí)之間的相互關(guān)系數(shù)量也在急劇上升。這說明管理較多下屬的復(fù)雜性，因此主管人員在增加下屬人數(shù)前一定要三思而行。

需要指出的是，格拉丘納斯的這個(gè)公式?jīng)]有涉及上下級(jí)關(guān)系發(fā)生的頻次和密度，因而它的實(shí)用性受到了一走的限制。對(duì)一個(gè)主管人員來說，相互關(guān)系和所發(fā)生的頻次和密度（可用所需時(shí)間來計(jì)算）也應(yīng)是在確定下屬人數(shù)時(shí)所考慮的重要因素。

總之，管理幅度受多方面因素的影響，這也決定了管理幅度具有很大的彈性。