在項(xiàng)目管理中，關(guān)鍵路徑是指網(wǎng)絡(luò)終端元素的元素的序列，該序列具有最長(zhǎng)的總工期并決定了整個(gè)項(xiàng)目的最短完成時(shí)間。

關(guān)鍵路徑的工期決定了整個(gè)項(xiàng)目的工期。任何關(guān)鍵路徑上的終端元素的延遲將直接影響項(xiàng)目的預(yù)期完成時(shí)間（例如在關(guān)鍵路徑上沒(méi)有浮動(dòng)時(shí)間）。

一個(gè)項(xiàng)目可以有多個(gè)，并行的關(guān)鍵路徑。另一個(gè)總工期比關(guān)鍵路徑的總工期略少的一條并行路徑被稱為次關(guān)鍵路徑。

最初，關(guān)鍵路徑方法只考慮終端元素之間的邏輯依賴關(guān)系。關(guān)鍵鏈方法中增加了資源約束。

關(guān)鍵路徑方法是由杜邦公司發(fā)明的。

關(guān)鍵路線具有以下特點(diǎn)：

1、關(guān)鍵路線上的活動(dòng)的持續(xù)時(shí)間決定項(xiàng)目的工期，關(guān)鍵路線上所有活動(dòng)的持續(xù)時(shí)間加起來(lái)就是項(xiàng)目的工期。

2、關(guān)鍵路線上的任何一個(gè)活動(dòng)都是關(guān)鍵活動(dòng)，其中任何一個(gè)活動(dòng)的延遲都會(huì)導(dǎo)致整個(gè)項(xiàng)目完成時(shí)間的延遲。

3、關(guān)鍵路線是從始點(diǎn)到終點(diǎn)的項(xiàng)目路線中耗時(shí)最長(zhǎng)的路線，因此要想縮短項(xiàng)目的工期，必須在關(guān)鍵路線上想辦法，反之，若關(guān)鍵路線耗時(shí)延長(zhǎng)，則整個(gè)項(xiàng)目的完工期就會(huì)延長(zhǎng)。

4、關(guān)鍵路線的耗時(shí)是可以完成項(xiàng)目的最短的時(shí)間量。

5、關(guān)鍵路線上的活動(dòng)是總時(shí)差最小的活動(dòng)。

用頂點(diǎn)表示事件，弧表示活動(dòng)，弧上的權(quán)值表示活動(dòng)持續(xù)的時(shí)間的有向圖叫AOE（Activity On Edge Network）網(wǎng) 。AOE網(wǎng)常用于估算工程完成時(shí)間。例如：

圖1 是一個(gè)網(wǎng)。其中有9個(gè)事件v1，v2，…，v9；11項(xiàng)活動(dòng)a1，a2，…，a11。每個(gè)事件表示在它之前的活動(dòng)已經(jīng)完成，在它之后的活動(dòng)可以開(kāi)始。如 v1表示整個(gè)工程開(kāi)始，v9 表示整個(gè)工程結(jié)束。V5表示活動(dòng)，a4和a5已經(jīng)完成，活動(dòng)a7和a8可以開(kāi)始。與每個(gè)活動(dòng)相聯(lián)系的權(quán)表示完成該活動(dòng)所需的時(shí)間。如活動(dòng)a1需要6天時(shí)間可以完成。

1)AOV 網(wǎng)具有的性質(zhì)

• 只有在某頂點(diǎn)所代表的事件發(fā)生后，從該頂點(diǎn)出發(fā)的各有向邊所代表的活動(dòng)才能開(kāi)始。
• 只有在進(jìn)入某一頂點(diǎn)的各有向邊所代表的活動(dòng)都已經(jīng)結(jié)束，該頂點(diǎn)所代表的事件才能發(fā)生。
• 表示實(shí)際工程計(jì)劃的AOE網(wǎng)應(yīng)該是無(wú)環(huán)的，并且存在唯一的入度過(guò)為0的開(kāi)始頂點(diǎn)和唯一的出度為0的完成頂點(diǎn)。

2)由事件vj的最早發(fā)生時(shí)間和最晚發(fā)生時(shí)間的定義，可以采取如下步驟求得關(guān)鍵活動(dòng)：

A、從開(kāi)始頂點(diǎn) v 1 出發(fā) , 令 ve(1)=0, 按拓樸有序序列求其余各頂點(diǎn)的可能最早發(fā)生時(shí)間。

• Ve(k)=max{ve(j)+dut(<j,k>)} （ 1.1 ）
• j ∈ T

其中T是以頂點(diǎn)vk為尾的所有弧的頭頂點(diǎn)的集合(2 ≤ k ≤ n) 。

如果得到的拓樸有序序列中頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)小于網(wǎng)中頂點(diǎn)個(gè)數(shù)n，則說(shuō)明網(wǎng)中有環(huán)，不能求出關(guān)鍵路徑，算法結(jié)束。

B、從完成頂點(diǎn) v n 出發(fā)，令vl(n)=ve(n)，按逆拓樸有序求其余各頂點(diǎn)的允許的最晚發(fā)生時(shí)間:

• vl(j)=min{vl(k)-dut(<j,k>)}
• k ∈ S

其中 S 是以頂點(diǎn)vj是頭的所有弧的尾頂點(diǎn)集合(1 ≤ j ≤ n-1) 。

C、求每一項(xiàng)活動(dòng)ai(1 ≤ i ≤ m)的最早開(kāi)始時(shí)間e(i)=ve(j)；最晚開(kāi)始時(shí)間：

• l(i)=vl(k)-dut(<j,k>)

若某條弧滿足 e(i)=l(i) ，則它是關(guān)鍵活動(dòng)。

對(duì)于圖1所示的 AOE 網(wǎng)，按以上步驟的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1，可得到a1 , a4 , a7 , a8 , a10 , a11 是關(guān)鍵活動(dòng)。

3）求出 AOE 網(wǎng)中所有關(guān)鍵活動(dòng)后，只要?jiǎng)h去AOE網(wǎng)中所有的非關(guān)鍵活動(dòng)，即可得到 AOE 網(wǎng)的關(guān)鍵路徑。

這時(shí)從開(kāi)始頂點(diǎn)到達(dá)完成頂點(diǎn)的所有路徑都是關(guān)鍵路徑。一個(gè)AOE網(wǎng)的關(guān)鍵路徑可以不止一條，如圖7.21的AOE網(wǎng)中有二條關(guān)鍵路徑，(v1, v2, v5, v7 , v9 ) 和 (v1 , v2 , v5 , v8 , v9 )它們的路徑長(zhǎng)度都是16 。如圖2所示：

注意:并不是加快任何一個(gè)關(guān)鍵活動(dòng)都可以縮短整個(gè)工程完成的時(shí)間，只有加快那些包括在所有的關(guān)鍵路徑上的關(guān)鍵活動(dòng)才能達(dá)到這個(gè)目的。只有在不改變AOE網(wǎng)的關(guān)鍵路徑的前提下，加快包含在關(guān)鍵路徑上的關(guān)鍵活動(dòng)才可以縮短整個(gè)工程的完成時(shí)間。