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效用曲線

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1.什么是效用曲線

效用曲線是用于反映決策者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的一種曲線。又稱"偏好曲線"。在決策中，決策者的個(gè)性、才智、膽識(shí)、經(jīng)驗(yàn)等主觀因素，使不同的決策者對(duì)相同的益損問題 (獲取收益或避免損失)作出不同的反應(yīng)；即使是同一決策者，由于時(shí)間和條件等客觀因素不同，對(duì)相同的益損問題也會(huì)有不同的反應(yīng)。決策者這種對(duì)于益損問題的獨(dú)特感受和取舍，稱之為“效用”。效用曲線就是用來反映決策后果的益損值對(duì)決策者的效用(即益損值與效用值)之間的關(guān)系曲線。通常以益損值為橫坐標(biāo)，以效用值為縱坐標(biāo)，把決策者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的變化在此坐標(biāo)系中描點(diǎn)而擬合成一條曲線。

2.效用曲線的種類

常見的效用曲線分為保守型、激進(jìn)型、中間型和混合型四種， 見圖l。

Image:效應(yīng)曲線.jpg

圖1 效用曲線

1．保守型效用曲線

圖l中的曲線Ⅱ 嚴(yán)格上凸(下凹)表示效用隨著消費(fèi)者收入的增多而遞增，但遞增速度越來越慢， 即邊際效用遞減，這樣的決策者對(duì)于虧損特別敏感，而大的收益對(duì)他的吸引力卻不是很大，這種類型的決策者容易滿足， 不求大利， 只求避風(fēng)險(xiǎn)。保守型決策者厭惡風(fēng)險(xiǎn)。

2．激進(jìn)型效用曲線

圖l中的曲線Ⅲ是下凸(上凹)的，表示效用隨著消費(fèi)者收入的增多而遞增， 而遞增速度越來越快， 即邊際效用遞增。曲線中間部分呈下凹形狀， 表示決策者專注于想獲得大的收益而不十分關(guān)心虧損，這種類型的決策者不易滿足。激進(jìn)型決策者喜歡風(fēng)險(xiǎn)。

3．中問型效用曲線

圖l中的直線I表示決策的效用與決策損益的貨幣效果成線性關(guān)系， 對(duì)應(yīng)于這種效用函數(shù)的決策者對(duì)決策風(fēng)險(xiǎn)抱中立態(tài)度，他或是認(rèn)為決策的后果對(duì)大局無嚴(yán)重影響，或者因?yàn)樵擁?xiàng)決策可以重復(fù)進(jìn)行， 從而獲得平均意義上的成果， 因而對(duì)決策的某項(xiàng)后果不予特別關(guān)注，而謹(jǐn)慎從事，由于這類效用函數(shù)是線性美系，因此，效用期望值最大的方案也已是收益期望值的最大方案。此時(shí)一個(gè)非確定性決策的確定等價(jià)值就等于它的期望收益。

4．混合型效用曲線

圖1中的曲線Ⅳ 表示決策者在收 損益額不太大時(shí)，決策者具有一定的冒險(xiǎn)膽略，追求風(fēng)險(xiǎn)屬于激進(jìn)型，但當(dāng)損益額增大到一定數(shù)量時(shí)，他就轉(zhuǎn)化為厭惡風(fēng)險(xiǎn)的決策者了，變?yōu)楸Ｊ匦停?其實(shí)這種類型更符合實(shí)際。

一般在一定的損益水平條件下，決策者認(rèn)為效用越大，越傾向于保守型；反之決策者認(rèn)為效用越小， 越傾向于風(fēng)險(xiǎn)型。

根據(jù)效用曲線的幾何特征可選用以下幾種統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的曲線來擬合效用曲線。圖1中的曲線Ⅱ 和Ⅲ 的擬合有多種形式．可以用Y = XO， 也可用半對(duì)數(shù)LnY=a+bX形式，以下采用指數(shù)函數(shù)形式。

3.效用曲線模型數(shù)學(xué)推導(dǎo)

　1．直線——Y=A+BX

　　利用兩端點(diǎn)M(X1，1)和N(X0,0)確定直線I;Y=frac{X-X_0}{X_1-X_0}其中，y為效用參數(shù)，X為損益值(下同)。

　　2．指數(shù)曲線—— Y=A+B_e^{cx}

　　(1)曲線類型判斷。首先， 從系數(shù)上判斷，從圖1可以看出曲線II和曲線III同為單調(diào)遞增函數(shù)，且曲線Ⅱ上凸， 曲線Ⅲ 下凹。

　　其次，利用期望效用直線判斷。當(dāng)Ym > (Xm ? X0) / (x1 ? X0) 是，為保守型；

　　當(dāng)Ym < (Xm ? X0) / (X1 ? X0)時(shí)，為激進(jìn)型。

　　(2)模型求解。利用兩端點(diǎn)M(X1，1)和N(XO，0)，決策損益效用點(diǎn)Q(Xm，Ym)滿足

　　begin{cases} A+B_e^{cx_1}=1 A+B_e^{cx_0}=0 A+B_e^{cx_m}=Y_m end{cases}　　(1)

　　解得：

　　A=-e^{cx_0}/(e^{cx_1}-e^{cx_0})　　(2)

　　B=1/(e^{cx_1}-e^{cx_0})　　　(3)

　　e^{c(x_m-x_0)}=Y_{m}e^{c(x_1-x_0)}+(1+Y_m)　　　(4)

　　當(dāng)曲線是保守型時(shí)， 設(shè)t=e^{c(x_m-x_n)},a=(X_1-X_0)/(X_m-X_0)>1,a=Y_m,b=1-Y_m則(4)式可改寫成

　　t = ata + b(0 < t < 1)

　　當(dāng)曲線是激進(jìn)型時(shí)， 設(shè)t=e^{c(x_m-x_1)},a=(X_1-X_0)/(X_1-X_m)>1,a=1-Y_m,b=Y_m則(4)式也可改寫成(5)式。

　　保守型： 由t=e^{c(x_m-x_0)}得C = lnt / (Xm ? X0)

　　激進(jìn)型： 由t=e^{c(x_m-x_1)}

　　得C = Int / (Xm ? X1),將C代人(2)式、(3)式，進(jìn)而求出參數(shù)A，B。

　　3．混合型效用曲線

　　設(shè)效用函數(shù)是：

　　Y=f(x)=a(X-X_0)(X-X_1)(X-b)+frac{(X-X_0)}{(X_1-X_0)}

　　由Ym = f(Xm),Ym = f(Xn)解得：

　　a=frac{(A_m-A_n)}{X_m-X_n},b=frac{X_nA_m-X_mA_n}{A_m-A_n}

　　其中：A_m=frac{Y_m-frac{(X_m-X_0)}{X_1-X_0}}{X_m-X_0}(X_m-X_1),A_n=frac{Y_n-frac{(X_n-X_0)}{X_1-X_0}}{X_n-X_0}(X_n-X_1)

4.效用曲線實(shí)際運(yùn)用舉例

　　某決策者面臨三種建廠方案，決策矩陣如表1所示(單位： 萬元)。

　　表1


  		• 暢銷(0 7)滯銷(0 3)
    大廠700500
    中廠500-300
    小廠300—100

　　解： (1)極大損益效用點(diǎn)為M(700、1)'極小損益效用點(diǎn)為Ⅳ(一500~0)．決策有損益效用點(diǎn)為；2(3O0,0．4)。

　　(2)判斷決策類型。Y_m=O.4< frac{300- (-500)}{700- (-5OO)}= 0.6667 ， 激進(jìn)型。

　　(3)模型求導(dǎo)解得： a=0．6，b=0．4，&alpha;=3，C=0．001955，A= -0．10588，B= 0．28l4， 即Y= -0．10588+ 0.2814e0.001955x。

　　(4)決策。將各行動(dòng)方案不同狀態(tài)下?lián)p益值分別代人上式求出效用值， 然后計(jì)算出各行動(dòng)方案的期望效用。

　　建大廠，U，== 0．7；建中廠，U =0．4646；建小廠，U =0．3177。

　　根據(jù)期望值極大原理， 應(yīng)選擇建大廠方案， 如果決策者選擇損益效用點(diǎn)為Q(一200．0．49)可判斷為保守型， 利用上述方法，則應(yīng)選擇建小廠方案。

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