研究系統(tǒng)隨機(jī)聚散現(xiàn)象和隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)工作過(guò)程的數(shù)學(xué)理論和方法，又稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論，為運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支。

日常生活中存在大量有形和無(wú)形的排隊(duì)或擁擠現(xiàn)象，如旅客購(gòu)票排隊(duì)，市內(nèi)電話占線等現(xiàn)象。排隊(duì)論的基本思想是1910年丹麥電話工程師A.K.埃爾朗在解決自動(dòng)電話設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)開(kāi)始形成的，當(dāng)時(shí)稱為話務(wù)理論。他在熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)平衡理論的啟發(fā)下，成功地建立了電話統(tǒng)計(jì)平衡模型，并由此得到一組遞推狀態(tài)方程，從而導(dǎo)出著名的埃爾朗電話損失率公式。自20世紀(jì)初以來(lái)，電話系統(tǒng)的設(shè)計(jì)一直在應(yīng)用這個(gè)公式。30年代蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家А.Я.欣欽把處于統(tǒng)計(jì)平衡的電話呼叫流稱為最簡(jiǎn)單流。瑞典數(shù)學(xué)家巴爾姆又引入有限后效流等概念和定義。他們用數(shù)學(xué)方法深入地分析了電話呼叫的本征特性，促進(jìn)了排隊(duì)論的研究。50年代初，美國(guó)數(shù)學(xué)家關(guān)于生滅過(guò)程的研究、英國(guó)數(shù)學(xué)家D.G.肯德?tīng)柼岢銮度腭R爾可夫鏈理論，以及對(duì)排隊(duì)隊(duì)型的分類方法，為排隊(duì)論奠定了理論基礎(chǔ)。在這以后，L.塔卡奇等人又將組合方法引進(jìn)排隊(duì)論，使它更能適應(yīng)各種類型的排隊(duì)問(wèn)題。70年代以來(lái)，人們開(kāi)始研究排隊(duì)網(wǎng)絡(luò)和復(fù)雜排隊(duì)問(wèn)題的漸近解等，成為研究現(xiàn)代排隊(duì)論的新趨勢(shì)。

排隊(duì)系統(tǒng)又稱服務(wù)系統(tǒng)。服務(wù)系統(tǒng)由服務(wù)機(jī)構(gòu)和服務(wù)對(duì)象（顧客）構(gòu)成。服務(wù)對(duì)象到來(lái)的時(shí)刻和對(duì)他服務(wù)的時(shí)間（即占用服務(wù)系統(tǒng)的時(shí)間）都是隨機(jī)的。圖1為一最簡(jiǎn)單的排隊(duì)系統(tǒng)模型。排隊(duì)系統(tǒng)包括三個(gè)組成部分：輸入過(guò)程、排隊(duì)規(guī)則和服務(wù)機(jī)構(gòu)。

輸入過(guò)程

　　輸入過(guò)程考察的是顧客到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)的規(guī)律。它可以用一定時(shí)間內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)或前后兩個(gè)顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間來(lái)描述，一般分為確定型和隨機(jī)型兩種。例如，在生產(chǎn)線上加工的零件按規(guī)定的間隔時(shí)間依次到達(dá)加工地點(diǎn)，定期運(yùn)行的班車、班機(jī)等都屬于確定型輸入。隨機(jī)型的輸入是指在時(shí)間t內(nèi)顧客到達(dá)數(shù) n（t）服從一定的隨機(jī)分布。如服從泊松分布,則在時(shí)間t內(nèi)到達(dá)n個(gè)顧客的概率為

　　或相繼到達(dá)的顧客的間隔時(shí)間T 服從負(fù)指數(shù)分布，即

　　式中λ為單位時(shí)間顧客期望到達(dá)數(shù)，稱為平均到達(dá)率；1/λ為平均間隔時(shí)間。在排隊(duì)論中，討論的輸入過(guò)程主要是隨機(jī)型的。

排隊(duì)規(guī)則

　　排隊(duì)規(guī)則分為等待制、損失制和混合制三種。當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)，所有服務(wù)機(jī)構(gòu)都被占用，則顧客排隊(duì)等候，即為等待制。在等待制中，為顧客進(jìn)行服務(wù)的次序可以是先到先服務(wù)，或后到先服務(wù)，或是隨機(jī)服務(wù)和有優(yōu)先權(quán)服務(wù)（如醫(yī)院接待急救病人）。如果顧客來(lái)到后看到服務(wù)機(jī)構(gòu)沒(méi)有空閑立即離去，則為損失制。有些系統(tǒng)因留給顧客排隊(duì)等待的空間有限，因此超過(guò)所能容納人數(shù)的顧客必須離開(kāi)系統(tǒng)，這種排隊(duì)規(guī)則就是混合制。

服務(wù)機(jī)構(gòu)

　　可以是一個(gè)或多個(gè)服務(wù)臺(tái)。多個(gè)服務(wù)臺(tái)可以是平行排列的，也可以是串連排列的。服務(wù)時(shí)間一般也分成確定型和隨機(jī)型兩種。例如，自動(dòng)沖洗汽車的裝置對(duì)每輛汽車沖洗（服務(wù)）時(shí)間是相同的，因而是確定型的。而隨機(jī)型服務(wù)時(shí)間v 則服從一定的隨機(jī)分布。如果服從負(fù)指數(shù)分布，則其分布函數(shù)是

　　式中μ為平均服務(wù)率，1/μ為平均服務(wù)時(shí)間。

如果按照排隊(duì)系統(tǒng)三個(gè)組成部分的特征的各種可能情形來(lái)分類，則排隊(duì)系統(tǒng)可分成無(wú)窮多種類型。因此只能按主要特征進(jìn)行分類。一般是以相繼顧客到達(dá)系統(tǒng)的間隔時(shí)間分布、服務(wù)時(shí)間的分布和服務(wù)臺(tái)數(shù)目為分類標(biāo)志?，F(xiàn)代常用的分類方法是英國(guó)數(shù)學(xué)家D.G.肯德?tīng)柼岢龅姆诸惙椒?，即用肯德?tīng)栍浱?hào) X/Y/Z進(jìn)行分類。

X處填寫(xiě)相繼到達(dá)間隔時(shí)間的分布；

Y處填寫(xiě)服務(wù)時(shí)間分布;

Z處填寫(xiě)并列的服務(wù)臺(tái)數(shù)目。

各種分布符號(hào)有：M-負(fù)指數(shù)分布;D-確定型; Ek-k階埃爾朗分布；GI-一般相互獨(dú)立分布；G-一般隨機(jī)分布等。這里k階埃爾朗分布是指為相互獨(dú)立且服從相同指數(shù)分布的隨機(jī)變量時(shí)，服從自由度為 2k的χ2分布。例如,M/M/1表示顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布、服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布和單個(gè)服務(wù)臺(tái)的模型。D/M/C表示顧客按確定的間隔時(shí)間到達(dá)、服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布和C個(gè)服務(wù)臺(tái)的模型。至于其他一些特征,如顧客為無(wú)限源或有限源等，可在基本分類的基礎(chǔ)上另加說(shuō)明。

　 研究排隊(duì)系統(tǒng)問(wèn)題的主要目的是研究其運(yùn)行效率,考核服務(wù)質(zhì)量,以便據(jù)此提出改進(jìn)措施。通常評(píng)價(jià)排隊(duì)系統(tǒng)優(yōu)劣有 6項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)。

①系統(tǒng)負(fù)荷水平ρ ：它是衡量服務(wù)臺(tái)在承擔(dān)服務(wù)和滿足需要方面能力的尺度；

②系統(tǒng)空閑概率P0：系統(tǒng)處于沒(méi)有顧客來(lái)到要求服務(wù)的概率；

③隊(duì)長(zhǎng)：系統(tǒng)中排隊(duì)等待服務(wù)和正在服務(wù)的顧客總數(shù)，其平均值記為L(zhǎng)S；

④隊(duì)列長(zhǎng)：系統(tǒng)中排隊(duì)等待服務(wù)的顧客數(shù)，其平均值記為L(zhǎng)g；

⑤逗留時(shí)間：一個(gè)顧客在系統(tǒng)中停留時(shí)間，包括等待時(shí)間和服務(wù)時(shí)間，其平均值記為WS；

⑥等待時(shí)間：一個(gè)顧客在系統(tǒng)中排隊(duì)等待時(shí)間,其平均值記為Wg。M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)是一種 最簡(jiǎn)單的排隊(duì)系統(tǒng)。系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo)可由圖2中狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖推算出來(lái)（表1）。其他類型的排隊(duì)系統(tǒng)的各種指標(biāo)計(jì)算公式則復(fù)雜得多，可專門(mén)列出計(jì)算公式圖表備查。現(xiàn)已開(kāi)始應(yīng)用計(jì)算機(jī)仿真來(lái)求解排隊(duì)系統(tǒng)問(wèn)題。

排隊(duì)論已廣泛應(yīng)用于交通系統(tǒng)、港口泊位設(shè)計(jì)、機(jī)器維修、庫(kù)存控制和其他服務(wù)系統(tǒng)。表2中列出排隊(duì)論的應(yīng)用。

排隊(duì)論案例一：超市收銀臺(tái)^[1]

• 　　一、超市收銀臺(tái)

　　隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，城鎮(zhèn)里的超市越來(lái)越多。在激烈的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中，如何提高經(jīng)營(yíng)效益、吸引更多的顧客是超市經(jīng)營(yíng)商最關(guān)心的問(wèn)題。收銀臺(tái)是超市的服務(wù)窗口，不僅能夠反映超市的形象更與超市的服務(wù)質(zhì)量和經(jīng)營(yíng)效率密切相關(guān)。收銀員的形象、服務(wù)態(tài)度、職業(yè)技能等固然重要，而收銀臺(tái)的管理與優(yōu)化也是不容忽視。顧客選擇超市的標(biāo)準(zhǔn)，不僅是價(jià)廉物美的商品，也有服務(wù)質(zhì)量。收銀臺(tái)前排隊(duì)成龍的超市顯然不是人們希望的購(gòu)物環(huán)境，多數(shù)人寧愿放棄或者稍微走遠(yuǎn)一點(diǎn)去購(gòu)物也不愿意在擁擠中排隊(duì)等待。尤其是一些成功人士，他們寧愿多花點(diǎn)錢也不愿意排隊(duì)，對(duì)于他們來(lái)說(shuō)時(shí)間就是金錢。在商品的質(zhì)量和價(jià)格基本相同的條件下，服務(wù)質(zhì)量才是競(jìng)爭(zhēng)的焦點(diǎn)。前者可以通過(guò)采購(gòu)環(huán)節(jié)加以控制，而后者只有通過(guò)收銀臺(tái)的增減與管理加以調(diào)節(jié)。就超市經(jīng)營(yíng)者而言，增加收銀臺(tái)就意味著增加投資，有時(shí)還有可能發(fā)生資源空閑浪費(fèi)的現(xiàn)象；而收銀臺(tái)太少，排隊(duì)現(xiàn)象就會(huì)嚴(yán)重，影響服務(wù)質(zhì)量，造成客源流失。

• 　　二、超市排隊(duì)系統(tǒng)的組成與特征

　　一般的排隊(duì)服務(wù)系統(tǒng)(如圖）有三個(gè)基本的組成部分：輸入過(guò)程、排隊(duì)規(guī)則和服務(wù)機(jī)構(gòu)。輸入過(guò)程是指顧客到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)；排隊(duì)規(guī)則是指顧客到達(dá)后按什么樣的規(guī)則排隊(duì)等待服務(wù)；服務(wù)機(jī)構(gòu)是指為顧客提供服務(wù)的機(jī)構(gòu)。本文所研究的排隊(duì)系統(tǒng)是指顧客在超市里挑選好商品后，在收銀臺(tái)前排隊(duì)等待付款的排隊(duì)系統(tǒng)。收銀臺(tái)是服務(wù)臺(tái)，顧客付款被認(rèn)為是接受服務(wù)。輸入過(guò)程是指顧客挑選好商品后來(lái)到收銀臺(tái)前；排隊(duì)規(guī)則是指顧客按單隊(duì)單服務(wù)臺(tái)、多隊(duì)多服務(wù)臺(tái)或單隊(duì)多服務(wù)臺(tái)的方式排隊(duì)；服務(wù)機(jī)構(gòu)是服務(wù)臺(tái)。

　　一般認(rèn)為在超市的排隊(duì)系統(tǒng)中，輸入過(guò)程服從泊松分布，服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布。用λ表示單位時(shí)間內(nèi)平均到達(dá)的顧客數(shù)，用μ表示各個(gè)服務(wù)臺(tái)的平均服務(wù)速率(服務(wù)員的服務(wù)能力）。用Ρ表示平均每單位時(shí)間中系統(tǒng)可以為顧客服務(wù)的比例，即服務(wù)強(qiáng)度。W_s表示顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí)間（包括排隊(duì)等待時(shí)間和接受服務(wù)的時(shí)間），W_q表示顧客排隊(duì)等待的平均時(shí)間，可通過(guò)如下公式計(jì)算：

　　在單隊(duì)單服務(wù)臺(tái)的情況下:

　　　　,

　　多隊(duì)多服務(wù)臺(tái)可看作是多個(gè)單隊(duì)單服務(wù)臺(tái)。在單隊(duì)k個(gè)服務(wù)臺(tái)的情況下:

　　，

• 　　三、超市收銀臺(tái)的優(yōu)化設(shè)計(jì)

　　作為顧客來(lái)說(shuō)，超市收銀臺(tái)越多越好越方便，而就超市經(jīng)營(yíng)者來(lái)說(shuō)，增加收銀臺(tái)就要增加投資。所以應(yīng)該合理的規(guī)劃收銀臺(tái)的數(shù)量，使得既不會(huì)因?yàn)槭浙y臺(tái)的數(shù)量過(guò)多而造成資源閑置浪費(fèi)，也不會(huì)因?yàn)槭浙y臺(tái)的數(shù)量過(guò)少而造成嚴(yán)重的排隊(duì)現(xiàn)象。因此可對(duì)超市收銀臺(tái)進(jìn)行管理和優(yōu)化設(shè)計(jì)。

　　1.對(duì)超市布局進(jìn)行合理規(guī)劃，為顧客營(yíng)造出溫馨，簡(jiǎn)便的購(gòu)物環(huán)境。讓顧客在盡量短的時(shí)間內(nèi)買到自己想買的商品，提高單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)出超市的客流量，這樣既節(jié)省了顧客的時(shí)間，也使超市增加了顧客的流量，從而使超市的經(jīng)營(yíng)效率得到了提高。對(duì)于大型的超市在恰當(dāng)?shù)奈恢迷黾訉?dǎo)購(gòu)員是一種很好的方法。對(duì)于第一次來(lái)消費(fèi)的顧客，導(dǎo)購(gòu)員的指導(dǎo)就會(huì)大量的減少他們的漫無(wú)目的的逗留時(shí)間。收銀臺(tái)前的管理也是非常重要的，盡量讓等待的顧客按順序排隊(duì)，避免過(guò)分的擁擠和混亂。

　　2.加強(qiáng)培訓(xùn)，提高收銀員的基本素質(zhì)。收銀臺(tái)是超市中顧客接觸最多的地方?？梢哉f(shuō)是超市的窗口，收銀員的素質(zhì)和服務(wù)質(zhì)量直接影響超市的形象。如果超市位于社區(qū)內(nèi)，顧客都是些老客戶，他們知道哪個(gè)收銀員的收銀速度比較快，服務(wù)態(tài)度好，可能就會(huì)在她的通道內(nèi)排隊(duì)的顧客比較多，從而導(dǎo)致其他的收銀員暫時(shí)的資源閑置。這樣也不利于超市經(jīng)營(yíng)者的管理。

　　所以招收收銀員時(shí)要適當(dāng)考慮收銀員的資歷和形象，要對(duì)收銀員的愛(ài)崗敬業(yè)精神和職業(yè)技能加強(qiáng)培訓(xùn)。要定期對(duì)收銀員進(jìn)行考核或開(kāi)展職業(yè)技能方面的競(jìng)賽。要及時(shí)掌握收銀員的工作狀態(tài)、業(yè)務(wù)水平及相關(guān)資料，這不僅是對(duì)員工進(jìn)行科學(xué)管理的需要，這些資料可以反映收銀員的工作強(qiáng)度，對(duì)于管理與優(yōu)化都是非常重要的數(shù)據(jù)資料。

　　3.盡量采用單隊(duì)多服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)規(guī)則，提高工作效率。

　　在超市排隊(duì)系統(tǒng)中，輸入過(guò)程服從泊松分布，從理論來(lái)說(shuō)，采用單隊(duì)多服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)規(guī)則比采用多隊(duì)多服務(wù)臺(tái)的工作效率高。以有三個(gè)收銀臺(tái)的超市為例，設(shè)顧客的平均到達(dá)率為λ = 0.9(人)，平均服務(wù)率為μ = 0.4(人)，如果按多隊(duì)多服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)規(guī)則進(jìn)行排隊(duì)，則約有75%的顧客需要排隊(duì)等待付款，平均等待時(shí)間約為7分鐘。而按單隊(duì)多服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)規(guī)則進(jìn)行排隊(duì)，則只有約57%的顧客需要排隊(duì)，平均等待時(shí)間不到2分鐘。

　　4.誠(chéng)信經(jīng)營(yíng)。在現(xiàn)在的市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下，誰(shuí)占有了消費(fèi)者的購(gòu)買信心，誰(shuí)就占有了市場(chǎng)。所以，超市經(jīng)營(yíng)者一定要誠(chéng)信經(jīng)營(yíng)，讓消費(fèi)者在超市消費(fèi)時(shí)，沒(méi)有后顧之憂。使消費(fèi)者相信他選中的這個(gè)超市是可以長(zhǎng)期合作的。這樣消費(fèi)者和經(jīng)營(yíng)者就達(dá)到了和諧。

排隊(duì)論案例二：汽車售后服務(wù)^[2]

　　當(dāng)今排隊(duì)論研究的內(nèi)容包括3個(gè)方面：系統(tǒng)的性態(tài)、系統(tǒng)的優(yōu)化和統(tǒng)計(jì)推斷，根據(jù)資料的合理建立模型，其目的是正確設(shè)計(jì)和有效運(yùn)行各個(gè)服務(wù)系統(tǒng)，使之發(fā)揮最佳效益。利用排隊(duì)論的知識(shí)來(lái)解決汽車售后服務(wù)中的排隊(duì)論問(wèn)題。

• 　　1.排隊(duì)模型的建立

　　假設(shè)客戶平均到達(dá)率為λ，單個(gè)服務(wù)臺(tái)的平均服務(wù)率（表示單位時(shí)間被服務(wù)完的顧客數(shù)）為μ，整個(gè)服務(wù)機(jī)構(gòu)的平均服務(wù)率為C^μ，系統(tǒng)的服務(wù)強(qiáng)度時(shí)才不會(huì)排成無(wú)限的隊(duì)列，P_n(c)為C個(gè)服務(wù)臺(tái)任意時(shí)刻系統(tǒng)中有n個(gè)顧客的概率；當(dāng)?shù)竭_(dá)率為lambda，服務(wù)率為C^μ的過(guò)程達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，可得

　　　　(1)

　　　　(2)

　　當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí),每位顧客在系統(tǒng)中的等待時(shí)間w的均值為:

　　　　(3)

　　排隊(duì)逗留的人數(shù)：

　　　　(4)

• 　　排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)化

　　在排隊(duì)系統(tǒng)中，顧客希望服務(wù)臺(tái)越多、服務(wù)效率越高、逗留時(shí)間越短越好，使自己的損失達(dá)到最小，為此4S店就要增加服務(wù)人員數(shù)，而4S店也不可能無(wú)限投入，因此就需要優(yōu)化設(shè)計(jì)，目的就是使顧客損失費(fèi)用和公司運(yùn)營(yíng)成本最低。假設(shè)服務(wù)臺(tái)的個(gè)數(shù)為C，每個(gè)服務(wù)臺(tái)單位時(shí)間所需的成本費(fèi)為C_s，每個(gè)顧客在系統(tǒng)中逗留單位時(shí)間的費(fèi)用為C_w，總成本為Z(c)，則目標(biāo)函數(shù)：

　　minZ(c) = C_sC + C_wL_s

　　其中L_s為逗留的人數(shù)公式（4），C只能取整數(shù)。

　　設(shè)C ^* 是使目標(biāo)函數(shù)C取最小值的點(diǎn)C ^* 滿足。

　　　　L_s = L_s(C)

　　化簡(jiǎn)得：　　(5)

　　通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬依次算出L_S(1),L_S(2),L_S(3)…相鄰兩項(xiàng)之差，看常數(shù)落在哪兩者之間，從而確定使顧客損失費(fèi)用和公司服務(wù)成本之和達(dá)到最優(yōu)化服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)C的最優(yōu)解C ^*。

• 　　模型的求解

　　由已知易得：

由上表知只有維修機(jī)組個(gè)數(shù)C ^* = 4時(shí)滿足公式（5），從而使得每一位客戶來(lái)店等待維修時(shí)間最短，且公司成本最低的最優(yōu)維修機(jī)組個(gè)數(shù)為4。

　　模型的分析當(dāng)顧客平均到達(dá)率上升引起服務(wù)強(qiáng)度增加致使平均隊(duì)長(zhǎng)L太大，甚至由于服務(wù)強(qiáng)度ρ > 1使隊(duì)長(zhǎng)趨向無(wú)限時(shí)，在平均服務(wù)率不變的情況下就只能增加服務(wù)臺(tái)。下面考慮有兩個(gè)服務(wù)臺(tái)且平均服務(wù)率相等的情況。

　　兩個(gè)服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)有兩種形式分別由下面兩圖表示:左圖一個(gè)隊(duì)是一個(gè)M/M/2模型;右圖兩個(gè)隊(duì)，且入隊(duì)后不能換隊(duì),是兩個(gè)M/M/1模型。

　　可以知道，兩個(gè)服務(wù)臺(tái)的兩種服務(wù)形式平均隊(duì)長(zhǎng)L,等待時(shí)間W之比為：

　　就人們最關(guān)心的等待時(shí)間而言有,而當(dāng)較大時(shí)，M/M/2模型的形式比2個(gè)M/M/1模型節(jié)省較多的等待時(shí)間。

　　同理可證：在有多個(gè)并列服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)系統(tǒng)中,排成單隊(duì)比排成并列多隊(duì)的方案具有明顯的優(yōu)越性.對(duì)于設(shè)置多個(gè)服務(wù)臺(tái)的隨機(jī)過(guò)程，應(yīng)該讓顧客排成一個(gè)隊(duì)。

• 　　接待、派工程序的設(shè)計(jì)

　　由上知，在設(shè)置4個(gè)并列維修機(jī)組的排隊(duì)系統(tǒng)中，排成單隊(duì)比排成并列4隊(duì)的方案具有明顯的優(yōu)越性.具體的接待、派工程序如下：

　　2.服務(wù)月工作安排

　　在最優(yōu)條件下，各維修機(jī)組基本上一直處于繁忙狀態(tài)，但該4S店4月份與9月份來(lái)店保養(yǎng)客戶比平均每天來(lái)店保養(yǎng)客戶多31%及43%，因此為了在不增加員工數(shù)量且遵守國(guó)家法定工作時(shí)間的條件下完成服務(wù)月活動(dòng)，只能提高各維修機(jī)組的工作效率。

　　由已知易得：4月份每小時(shí)客戶平均到達(dá)率λ = 18.77(輛/h)，設(shè)每個(gè)維修機(jī)組提高效率后每小時(shí)修理的汽車數(shù)量為μ,由MATLAB計(jì)算得當(dāng)μ = 4.6時(shí)即可滿足條件,此時(shí)每個(gè)維修機(jī)組提高的效率為P=21.8%.同理9月份當(dāng)μ = 5時(shí)即可滿足條件，此時(shí)每個(gè)維修機(jī)組提高的效率P=32.4%。

　　因此，該4S店的接待、派工流程為圖3，需提高的工作效率如下：

• 　　各維修機(jī)組在4月份、9月份需提高的工作效率

　　3.結(jié)論

　　應(yīng)用排隊(duì)論一方面可以有效地解決售后服務(wù)系統(tǒng)中人員和設(shè)備的配置問(wèn)題，為公司提供可靠的決策依據(jù)；另一方面通過(guò)系統(tǒng)優(yōu)化，找出客戶和公司兩者之間的平衡點(diǎn)，既減少排隊(duì)等待時(shí)間，又不浪費(fèi)公司人力物力，從而使公司和客戶之間達(dá)到雙贏。排隊(duì)是一種司空見(jiàn)慣的現(xiàn)象，因此排隊(duì)論可以用來(lái)解決許多現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。