主成分分析也稱主分量分析，旨在利用降維的思想，把多指標轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個綜合指標。

在統(tǒng)計學中，主成分分析（principal components analysis,PCA）是一種簡化數(shù)據(jù)集的技術(shù)。它是一個線性變換。這個變換把數(shù)據(jù)變換到一個新的坐標系統(tǒng)中，使得任何數(shù)據(jù)投影的第一大方差在第一個坐標(稱為第一主成分)上，第二大方差在第二個坐標(第二主成分)上，依次類推。主成分分析經(jīng)常用減少數(shù)據(jù)集的維數(shù)，同時保持數(shù)據(jù)集的對方差貢獻最大的特征。這是通過保留低階主成分，忽略高階主成分做到的。這樣低階成分往往能夠保留住數(shù)據(jù)的最重要方面。但是，這也不是一定的，要視具體應用而定。

在實證問題研究中，為了全面、系統(tǒng)地分析問題，我們必須考慮眾多影響因素。這些涉及的因素一般稱為指標，在多元統(tǒng)計分析中也稱為變量。因為每個變量都在不同程度上反映了所研究問題的某些信息，并且指標之間彼此有一定的相關(guān)性，因而所得的統(tǒng)計數(shù)據(jù)反映的信息在一定程度上有重疊。在用統(tǒng)計方法研究多變量問題時，變量太 多會增加計算量和增加分析問題的復雜性，人們希望在進行定量分析的過程中，涉及的變量較少，得到的信息量較多。主成分分析正是適應這一要求產(chǎn)生的，是解決這類題的理想工具。

同樣，在科普效果評估的過程中也存在著這樣的問題?？破招Ч呛茈y具體量化的。在實際評估工作中，我們常常會選用幾個有代表性的綜合指標，采用打分的方法來進行評估，故綜合指標的選取是個重點和難點。如上所述，主成分分析法正是解決這一問題的理想工具。因為評估所涉及的眾多變量之間既然有一定的相關(guān)性，就必然存在著起支配作用的因素。根據(jù)這一點，通過對原始變量相關(guān)矩陣內(nèi)部結(jié)構(gòu) 的關(guān)系研究，找出影響科普效果某一要素的幾個綜合指標，使綜合指標為原來變量的線 性擬合。這樣，綜合指標不僅保留了原始變量的主要信息，且彼此間不相關(guān)，又比原始 變量具有某些更優(yōu)越的性質(zhì)，就使我們在研究復雜的科普效果評估問題時，容易抓住主 要矛盾。 上述想法可進一步概述為：設(shè)某科普效果評估要素涉及個指標，這指標構(gòu) 成的維隨機向量為。對作正交變換，令，其中為正交陣，的各分量是不相關(guān)的，使得的各分量在某個評估要素中的作用容易解釋，這就使得我們有可能從主分量中選擇主要成分，削除對這一要素影響微弱的部分，通過 對主分量的重點分析，達到對原始變量進行分析的目的。的各分量是原始變量線性組合，不同的分量表示原始變量之間不同的影響關(guān)系。由于這些基本關(guān)系很可能與特定的作用過程相聯(lián)系，主成分分析使我們能從錯綜復雜的科普評估要素的眾多指標中，找出一些主要成分，以便有效地利用大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)，進行科普效果評估分析，使我們在研究科普效果評估問題中，可能得到深層次的一些啟發(fā)，把科普效果評估研究引向深入。

例如，在對科普產(chǎn)品開發(fā)和利用這一要素的評估中，涉及科普創(chuàng)作人數(shù)百萬人、科 普作品發(fā)行量百萬人、科普產(chǎn)業(yè)化（科普示范基地數(shù)百萬人）等多項指標。經(jīng)過主成分分析計算，最后確定個或個主成分作為綜合評價科普產(chǎn)品利用和開發(fā)的綜合指標，變量數(shù)減少，并達到一定的可信度，就容易進行科普效果的評估。

主成分分析法是一種降維的統(tǒng)計方法，它借助于一個正交變換，將其分量相關(guān)的原隨機向量轉(zhuǎn)化成其分量不相關(guān)的新隨機向量，這在代數(shù)上表現(xiàn)為將原隨機向量的協(xié)方差陣變換成對角形陣，在幾何上表現(xiàn)為將原坐標系變換成新的正交坐標系，使之指向樣本點散布最開的p 個正交方向，然后對多維變量系統(tǒng)進行降維處理，使之能以一個較高的精度轉(zhuǎn)換成低維變量系統(tǒng)，再通過構(gòu)造適當?shù)膬r值函數(shù)，進一步把低維系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成一維系統(tǒng)。

概括起來說，主成分分析主要由以下幾個方面的作用。

1．主成分分析能降低所研究的數(shù)據(jù)空間的維數(shù)。即用研究m維的Y空間代替p維的X空間(m＜p)，而低維的Y空間代替 高維的x空間所損失的信息很少。即：使只有一個主成分Y_l(即 m＝1)時，這個Y_l仍是使用全部X變量(p個)得到的。例如要計算Yl的均值也得使用全部x的均值。在所選的前m個主成分中，如果某個X_i的系數(shù)全部近似于零的話，就可以把這個X_i刪除，這也是一種刪除多余變量的方法。

2．有時可通過因子負荷a_ij的結(jié)論，弄清X變量間的某些關(guān)系。

3．多維數(shù)據(jù)的一種圖形表示方法。我們知道當維數(shù)大于3時便不能畫出幾何圖形，多元統(tǒng)計研究的問題大都多于3個變量。要把研究的問題用圖形表示出來是不可能的。然而，經(jīng)過主成分分析后，我們可以選取前兩個主成分或其中某兩個主成分，根據(jù)主成分的得分，畫出n個樣品在二維平面上的分布況，由圖形可直觀地看出各樣品在主分量中的地位，進而還可以對樣本進行分類處理，可以由圖形發(fā)現(xiàn)遠離大多數(shù)樣本點的離群點。

4．由主成分分析法構(gòu)造回歸模型。即把各主成分作為新自變量代替原來自變量x做回歸分析。

5．用主成分分析篩選回歸變量?；貧w變量的選擇有著重的實際意義，為了使模型本身易于做結(jié)構(gòu)分析、控制和預報，好從原始變量所構(gòu)成的子集合中選擇最佳變量，構(gòu)成最佳變量集合。用主成分分析篩選變量，可以用較少的計算量來選擇量，獲得選擇最佳變量子集合的效果。