主成分分析也稱主分量分析，旨在利用降維的思想，把多指標(biāo)轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個(gè)綜合指標(biāo)。

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，主成分分析（principal components analysis,PCA）是一種簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)集的技術(shù)。它是一個(gè)線性變換。這個(gè)變換把數(shù)據(jù)變換到一個(gè)新的坐標(biāo)系統(tǒng)中，使得任何數(shù)據(jù)投影的第一大方差在第一個(gè)坐標(biāo)(稱為第一主成分)上，第二大方差在第二個(gè)坐標(biāo)(第二主成分)上，依次類推。主成分分析經(jīng)常用減少數(shù)據(jù)集的維數(shù)，同時(shí)保持?jǐn)?shù)據(jù)集的對(duì)方差貢獻(xiàn)最大的特征。這是通過(guò)保留低階主成分，忽略高階主成分做到的。這樣低階成分往往能夠保留住數(shù)據(jù)的最重要方面。但是，這也不是一定的，要視具體應(yīng)用而定。

在實(shí)證問(wèn)題研究中，為了全面、系統(tǒng)地分析問(wèn)題，我們必須考慮眾多影響因素。這些涉及的因素一般稱為指標(biāo)，在多元統(tǒng)計(jì)分析中也稱為變量。因?yàn)槊總€(gè)變量都在不同程度上反映了所研究問(wèn)題的某些信息，并且指標(biāo)之間彼此有一定的相關(guān)性，因而所得的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)反映的信息在一定程度上有重疊。在用統(tǒng)計(jì)方法研究多變量問(wèn)題時(shí)，變量太 多會(huì)增加計(jì)算量和增加分析問(wèn)題的復(fù)雜性，人們希望在進(jìn)行定量分析的過(guò)程中，涉及的變量較少，得到的信息量較多。主成分分析正是適應(yīng)這一要求產(chǎn)生的，是解決這類題的理想工具。

同樣，在科普效果評(píng)估的過(guò)程中也存在著這樣的問(wèn)題?？破招Ч呛茈y具體量化的。在實(shí)際評(píng)估工作中，我們常常會(huì)選用幾個(gè)有代表性的綜合指標(biāo)，采用打分的方法來(lái)進(jìn)行評(píng)估，故綜合指標(biāo)的選取是個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。如上所述，主成分分析法正是解決這一問(wèn)題的理想工具。因?yàn)樵u(píng)估所涉及的眾多變量之間既然有一定的相關(guān)性，就必然存在著起支配作用的因素。根據(jù)這一點(diǎn)，通過(guò)對(duì)原始變量相關(guān)矩陣內(nèi)部結(jié)構(gòu) 的關(guān)系研究，找出影響科普效果某一要素的幾個(gè)綜合指標(biāo)，使綜合指標(biāo)為原來(lái)變量的線 性擬合。這樣，綜合指標(biāo)不僅保留了原始變量的主要信息，且彼此間不相關(guān)，又比原始 變量具有某些更優(yōu)越的性質(zhì)，就使我們?cè)谘芯繌?fù)雜的科普效果評(píng)估問(wèn)題時(shí)，容易抓住主 要矛盾。 上述想法可進(jìn)一步概述為：設(shè)某科普效果評(píng)估要素涉及個(gè)指標(biāo)，這指標(biāo)構(gòu) 成的維隨機(jī)向量為。對(duì)作正交變換，令，其中為正交陣，的各分量是不相關(guān)的，使得的各分量在某個(gè)評(píng)估要素中的作用容易解釋，這就使得我們有可能從主分量中選擇主要成分，削除對(duì)這一要素影響微弱的部分，通過(guò) 對(duì)主分量的重點(diǎn)分析，達(dá)到對(duì)原始變量進(jìn)行分析的目的。的各分量是原始變量線性組合，不同的分量表示原始變量之間不同的影響關(guān)系。由于這些基本關(guān)系很可能與特定的作用過(guò)程相聯(lián)系，主成分分析使我們能從錯(cuò)綜復(fù)雜的科普評(píng)估要素的眾多指標(biāo)中，找出一些主要成分，以便有效地利用大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，進(jìn)行科普效果評(píng)估分析，使我們?cè)谘芯靠破招Чu(píng)估問(wèn)題中，可能得到深層次的一些啟發(fā)，把科普效果評(píng)估研究引向深入。

例如，在對(duì)科普產(chǎn)品開(kāi)發(fā)和利用這一要素的評(píng)估中，涉及科普創(chuàng)作人數(shù)百萬(wàn)人、科 普作品發(fā)行量百萬(wàn)人、科普產(chǎn)業(yè)化（科普示范基地?cái)?shù)百萬(wàn)人）等多項(xiàng)指標(biāo)。經(jīng)過(guò)主成分分析計(jì)算，最后確定個(gè)或個(gè)主成分作為綜合評(píng)價(jià)科普產(chǎn)品利用和開(kāi)發(fā)的綜合指標(biāo)，變量數(shù)減少，并達(dá)到一定的可信度，就容易進(jìn)行科普效果的評(píng)估。

主成分分析法是一種降維的統(tǒng)計(jì)方法，它借助于一個(gè)正交變換，將其分量相關(guān)的原隨機(jī)向量轉(zhuǎn)化成其分量不相關(guān)的新隨機(jī)向量，這在代數(shù)上表現(xiàn)為將原隨機(jī)向量的協(xié)方差陣變換成對(duì)角形陣，在幾何上表現(xiàn)為將原坐標(biāo)系變換成新的正交坐標(biāo)系，使之指向樣本點(diǎn)散布最開(kāi)的p 個(gè)正交方向，然后對(duì)多維變量系統(tǒng)進(jìn)行降維處理，使之能以一個(gè)較高的精度轉(zhuǎn)換成低維變量系統(tǒng)，再通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)膬r(jià)值函數(shù)，進(jìn)一步把低維系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成一維系統(tǒng)。

概括起來(lái)說(shuō)，主成分分析主要由以下幾個(gè)方面的作用。

1．主成分分析能降低所研究的數(shù)據(jù)空間的維數(shù)。即用研究m維的Y空間代替p維的X空間(m＜p)，而低維的Y空間代替 高維的x空間所損失的信息很少。即：使只有一個(gè)主成分Y_l(即 m＝1)時(shí)，這個(gè)Y_l仍是使用全部X變量(p個(gè))得到的。例如要計(jì)算Yl的均值也得使用全部x的均值。在所選的前m個(gè)主成分中，如果某個(gè)X_i的系數(shù)全部近似于零的話，就可以把這個(gè)X_i刪除，這也是一種刪除多余變量的方法。

2．有時(shí)可通過(guò)因子負(fù)荷a_ij的結(jié)論，弄清X(qián)變量間的某些關(guān)系。

3．多維數(shù)據(jù)的一種圖形表示方法。我們知道當(dāng)維數(shù)大于3時(shí)便不能畫(huà)出幾何圖形，多元統(tǒng)計(jì)研究的問(wèn)題大都多于3個(gè)變量。要把研究的問(wèn)題用圖形表示出來(lái)是不可能的。然而，經(jīng)過(guò)主成分分析后，我們可以選取前兩個(gè)主成分或其中某兩個(gè)主成分，根據(jù)主成分的得分，畫(huà)出n個(gè)樣品在二維平面上的分布況，由圖形可直觀地看出各樣品在主分量中的地位，進(jìn)而還可以對(duì)樣本進(jìn)行分類處理，可以由圖形發(fā)現(xiàn)遠(yuǎn)離大多數(shù)樣本點(diǎn)的離群點(diǎn)。

4．由主成分分析法構(gòu)造回歸模型。即把各主成分作為新自變量代替原來(lái)自變量x做回歸分析。

5．用主成分分析篩選回歸變量?；貧w變量的選擇有著重的實(shí)際意義，為了使模型本身易于做結(jié)構(gòu)分析、控制和預(yù)報(bào)，好從原始變量所構(gòu)成的子集合中選擇最佳變量，構(gòu)成最佳變量集合。用主成分分析篩選變量，可以用較少的計(jì)算量來(lái)選擇量，獲得選擇最佳變量子集合的效果。