風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)是指具有未來收益能力的資產(chǎn),比如股票之股息、債券之利息等等。但是,風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的未來收益是不確定的,否則,所有的投資者都會追求那些收益最高的資產(chǎn),而放棄那些收益最低的資產(chǎn)。于是,在供求均衡的條件下,所有資產(chǎn)的收益將趨于一致。

• (一) 不進(jìn)行無風(fēng)險(xiǎn)借款時(shí)的投資組合

　　(1).投資于一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合

　　設(shè)某投資組合包含一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（如無風(fēng)險(xiǎn)貸款）和一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率為r_f，標(biāo)準(zhǔn)差為σ_f。風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益率為E(r_i)，標(biāo)準(zhǔn)差為σ_i，它在投資組合中所占的比重為w_i。風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的協(xié)方差為σ_if，相關(guān)系數(shù)為ρ_if。那么，該投資組合的期望收益率和方差分別為：

E(r_p) = w_iE(r_i) + (1 ? w_i)E(rf)

　　由于r_f為常數(shù)，σ_f = 0，且σ_if = E[r_i ? E(r_i)][r_f ? e(rf)] = 0，故：

E(r_p) = w_iE(r_i) + (1 ? w_i)r_f

σ_p = w_iσ_i

將代入E(r_p)的計(jì)算公式，可得：

　　在上式中，r_f、E(r_i)和σ_i都已知。這說明，此時(shí)投資組合的期望收益率E(r_p)與其標(biāo)準(zhǔn)差σ_p之間呈線性關(guān)系。由于，而且正常情況下風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益率E(r_i)應(yīng)高于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率r_f，因此，改變組合中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例，按不同比例搭配構(gòu)成的投資組合的集合將是如圖1中的一條向上傾斜的直線段AB。

　　其中，A點(diǎn)表示組合中僅有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，r_f）。B點(diǎn)表示組合中僅有某種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（σ_i，E(r_i)）。顯然，直線段AB上所有的投資組合都是有效的，直線段AB就是由一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的投資組合的有效界面。

　　(2).投資于多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合

　　為簡化問題，現(xiàn)在我們設(shè)想其中的每一個組合都被固定了下來。顯然，這時(shí)集合中的每一個組合都相當(dāng)于（或可以看作）一種期望收益率為E(r_i)、標(biāo)準(zhǔn)差為σ_i的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。如果用其中的某一個組合和收益率為r_f的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)按不同的比例構(gòu)成一個新的投資組合的集合，那么這個新的投資組合的集合仍可以用一條直線段來體現(xiàn)。如圖2所示，點(diǎn)A表示無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，點(diǎn)D 是由多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的任一投資組合，連接點(diǎn)A和點(diǎn)D的直線段AD就表示由這一風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)按不同的比例構(gòu)成的各種新投資組合的集合。

　　現(xiàn)在我們來分析一下，在引入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之后，由無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的投資組合（簡稱新投資組合）的有效界面與原來僅有風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)的情形有何不同。為此，在圖2中，我們?nèi)杂靡粋€區(qū)域來表示多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的所有投資組合，并用點(diǎn)P表示這些風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益—方差界面上方差最小的證券組合 MVP。

     顯然，在這些風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效界面P-E-K上我們總可以找到一點(diǎn)B，使得連接點(diǎn)A和點(diǎn)B的直線段AB剛好與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效界面P-E-K相切于點(diǎn) B。我們稱點(diǎn)B所代表的投資組合為切點(diǎn)處的投資組合。它是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效界面上一個非常特殊的投資組合。因?yàn)闆]有任何一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合與無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的新投資組合可以位于直線段AB的左上方，也就是說，直線段AB的斜率最大，直線段AB上的投資組合都是有效的。

　　與此相對應(yīng)，另一個重要的事實(shí)是，在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效界面P-E-K上，點(diǎn)B左下邊的點(diǎn)所對應(yīng)的投資組合不再是有效的。換句話說，曲線段P-C-B不再是新投資組合的有效界面的一部分。這是因?yàn)?，對于曲線段P-C-B上的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的任一有效組合而言，在期望收益率相等的情況下總可以在直線段AB上找到風(fēng)險(xiǎn)更小的投資組合；在風(fēng)險(xiǎn)相同的情況下也總可以在直線段AB上找到期望收益率更高的投資組合。

      于是，按照有效界面的定義，曲線段P-C-B上的投資組合不再是有效投資組合，而直線段AB上的投資組合都是有效的。這說明，當(dāng)投資者可以同時(shí)投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)，新投資組合的有效界面將由直線段AB和曲線段B-E-K構(gòu)成，其中直線段AB代表點(diǎn)A對應(yīng)的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和點(diǎn)B對應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合以各種比例結(jié)合所構(gòu)成的各種有效投資組合，而曲線段B-E-K則代表點(diǎn)B的右上方完全由風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)所構(gòu)成的各種有效投資組合。

• 　　(二) 存在無風(fēng)險(xiǎn)借款時(shí)的投資組合

　　在現(xiàn)實(shí)生活中，投資者往往可以借入資金并將其用于購買風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。由于借款必須支付利息，而利率是已知的，在該借款本息償還上不存在不確定性，因此，我們可以把這種借款稱為無風(fēng)險(xiǎn)借款。為簡化起見，我們假定投資者可以按相同的利率進(jìn)行無風(fēng)險(xiǎn)借款。

　　(1).無風(fēng)險(xiǎn)借款并投資于一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情形

　　為了考察存在無風(fēng)險(xiǎn)借款時(shí)投資組合的有效界面，我們需要對前面的推導(dǎo)過程作適當(dāng)?shù)臄U(kuò)展。為此，我們只需把無風(fēng)險(xiǎn)借款看成負(fù)的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)即可。仍設(shè)投資組合中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)所占的比重為w_i，則無風(fēng)險(xiǎn)借款所占的比重為(1 ? w_i)，并且w_i > 1，1 ? w_i < 0。按照同樣的推導(dǎo)過程，我們?nèi)匀豢梢酝茖?dǎo)出下式成立： 

　　這說明，此時(shí)投資組合的期望收益率E(r_p)與其標(biāo)準(zhǔn)差σ_p之間仍然呈線性關(guān)系。然而，由于此時(shí)，而且正常情況下風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的期望收益率E(r_i)應(yīng)高于無風(fēng)險(xiǎn)借款的利率r_f，因此，此時(shí)投資組合的集合將表現(xiàn)為圖1中直線段AB向右上方的延長線BZ（見圖3）。顯然，直線BZ上所有的投資組合都是有效的，直線BZ就是進(jìn)行無風(fēng)險(xiǎn)借款并投資于一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)的有效界面。

　　(2).無風(fēng)險(xiǎn)借款并投資于多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情形

　　同樣地，進(jìn)行無風(fēng)險(xiǎn)借款并投資于多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合時(shí)，其風(fēng)險(xiǎn)和期望收益率的關(guān)系與投資于一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合相似。這時(shí)由多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的每一種組合仍相當(dāng)于（或可以看作）一種期望收益率為E(r_i)、標(biāo)準(zhǔn)差為σ_i的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。如果以無風(fēng)險(xiǎn)利率r_f進(jìn)行無風(fēng)險(xiǎn)借款（相當(dāng)于負(fù)的無風(fēng)險(xiǎn)投資）并將其投資于這種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合，那么隨著無風(fēng)險(xiǎn)借款在組合中比例的改變，各種投資組合的集合表現(xiàn)為圖2中連接點(diǎn)A和點(diǎn)D的直線段AD向右邊的延長線DN（見圖4）。其中，點(diǎn)A表示無風(fēng)險(xiǎn)借款，點(diǎn)D是由多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的任一投資組合。

　　現(xiàn)在我們來分析一下，在進(jìn)行無風(fēng)險(xiǎn)借款并投資于多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情形下，其有效界面與僅用期初的財(cái)富投資于多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)的情形有何不同。

　　為此，在圖4中，我們?nèi)杂靡粋€區(qū)域來表示多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的所有投資組合，并用點(diǎn)P表示這些風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益—方差界面上方差最小的證券組合MVP。

　　那么，在這些風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效界面P-E-K上我們?nèi)钥梢哉业揭稽c(diǎn)B，使得連接點(diǎn)A和點(diǎn)B的直線段AB剛好與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的有效界面P-E-K相切于點(diǎn)B。直線段AB向右上方的延長線BZ就表示進(jìn)行無風(fēng)險(xiǎn)借款并投資于點(diǎn)B所對應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的各種可能組合。

　　由于直線BZ上的所有投資組合都優(yōu)于曲線段B-E-K（風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)有效界面上點(diǎn)B右上邊的部分）上的投資組合，于是，按照有效界面的定義，此時(shí)曲線段 B-E-K上的投資組合不再是有效投資組合，而直線BZ上的投資組合都是有效的。這說明，當(dāng)投資者可以進(jìn)行無風(fēng)險(xiǎn)借款并投資于多種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)，新投資組合的有效界面將由曲線段PB和直線BZ構(gòu)成，其中曲線段PB代表點(diǎn)B的左下方完全由風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)所構(gòu)成的各種有效投資組合，直線BZ代表進(jìn)行無風(fēng)險(xiǎn)借款并投資于點(diǎn)B對應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合所構(gòu)成的各種有效投資組合。

　　總之，綜合上面的討論，我們不難得出如下結(jié)論：如果同時(shí)存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)可供投資者選擇，同時(shí)又允許無風(fēng)險(xiǎn)借款，那么各種資產(chǎn)組合的有效界面將變成一條直線，該直線經(jīng)過代表無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的點(diǎn)A并與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的有效界面相切。換句話說，它也就是圖2中的直線段AB和圖4中的直線BZ兩者一起構(gòu)成的射線A-B-Z。其中，點(diǎn)B為切點(diǎn)。