Poisson分布(法語(yǔ)：loi de Poisson，英語(yǔ)：Poisson distribution，譯名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等)，是一種統(tǒng)計(jì)與概率學(xué)里常見到的離散機(jī)率分布(discrete probability distribution)，由法國(guó)數(shù)學(xué)家西莫恩·德尼·泊松(Siméon-Denis Poisson)在1838年時(shí)發(fā)表。

　　泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)為：

　　泊松分布的參數(shù)λ是單位時(shí)間(或單位面積)內(nèi)隨機(jī)事件的平均發(fā)生率。

　　泊松分布適合于描述單位時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)。如某一服務(wù)設(shè)施在一定時(shí)間內(nèi)到達(dá)的人數(shù)，電話交換機(jī)接到呼叫的次數(shù)，汽車站臺(tái)的候客人數(shù)，機(jī)器出現(xiàn)的故障數(shù)，自然災(zāi)害發(fā)生的次數(shù)等等。

　　若隨機(jī)變量X取0和一切正整數(shù)值，在n次獨(dú)立試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)x恰為k次的概率P（X=k）=（k=0,1,...,n），式中λ是一個(gè)大于0的參數(shù)，此概率分布稱為泊松分布。它的期望值為E(x)=np，方差為D(x) = λ。當(dāng)n很大，且在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率P很小時(shí)，泊松分布近似二項(xiàng)分布。

Poisson分布主要用于描述在單位時(shí)間(空間)中稀有事件的發(fā)生數(shù). 即需滿足以下四個(gè)條件：^[1]

　 1.給定區(qū)域內(nèi)的特定事件產(chǎn)生的次數(shù)，可以是根據(jù)時(shí)間，長(zhǎng)度，面積來定義；

2.各段相等區(qū)域內(nèi)的特定事件產(chǎn)生的概率是一樣的；

3.各區(qū)域內(nèi)，事件發(fā)生的概率是相互獨(dú)立的；

4.當(dāng)給定區(qū)域變得非常小時(shí)，兩次以上事件發(fā)生的概率趨向于0。 　例如：

1.放射性物質(zhì)在單位時(shí)間內(nèi)的放射次數(shù)；

2.在單位容積充分搖勻的水中的細(xì)菌數(shù)；

3.野外單位空間中的某種昆蟲數(shù)等。

　由泊松分布知E[N(t) ? N(t₀)] = D[N(t) ? N(t₀)] = λ(t ? t₀)

　　特別的，令t_0=0.由于假設(shè)N(0)=0,故可推知泊松過程的均值函數(shù)和方差函數(shù)分別為E[N(t)] = λt,D[N(t)] = λt,

　　泊松過程的強(qiáng)度lambda （常數(shù)）等于單位長(zhǎng)時(shí)間間隔內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)目的期望值。即對(duì)泊松分布有：E(X) = D(X) = λ

一、Poisson分布的均數(shù)與方差相等，即σ2=m

二、Poisson分布的可加性

如果X₁,X₂,…,X_k相互獨(dú)立，且它們分別服從以μ₁，μ₂ ，…，μ_k為參數(shù)的Poisson分布，則T=X₁+X₂+…+X_k也服從Poisson分布，其參數(shù)為μ₁ +μ₂+…+μ_k。

三、Poisson分布的正態(tài)近似

m相當(dāng)大時(shí)，近似服從正態(tài)分布：N(m，m)

四、二項(xiàng)分布的Poisson分布近似

設(shè)X_i～B (n_i π_i)，則當(dāng)n_i→∞，π_i很小，且n_iπ_i = μ保持不變時(shí)，可以證明X_i的極限分布是以μ為參數(shù)的Poisson分布。

　　1、泊松分布是一種描述和分析稀有事件的概率分布。要觀察到這類事件，樣本含量n必須很大。

　　2、λ是泊松分布所依賴的唯一參數(shù)。λ值愈小，分布愈偏倚，隨著λ的增大，分布趨于對(duì)稱。

　　3、當(dāng)λ = 20時(shí)，分布泊松接近于正態(tài)分布；當(dāng)λ = 50時(shí)，可以認(rèn)為泊松分布呈正態(tài)分布。在實(shí)際工作中，當(dāng)時(shí)就可以用正態(tài)分布來近似地處理泊松分布的問題。