數(shù)學(xué)歸納法（簡(jiǎn)稱：MI）是一種數(shù)學(xué)證明方法，通常被用于證明某個(gè)給定命題在整個(gè)（或者局部）自然數(shù)范圍內(nèi)成立。除了自然數(shù)以外，廣義上的數(shù)學(xué)歸納法也可以用于證明一般良基關(guān)系結(jié)構(gòu)，例如：集合論中的樹(shù)(集合論)。這種廣義的數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用于數(shù)學(xué)邏輯和計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域，稱作結(jié)構(gòu)歸納法。

需要留意的是，數(shù)學(xué)歸納法雖然名字中有“歸納”，但是實(shí)際上數(shù)學(xué)歸納法并不屬于不嚴(yán)謹(jǐn)性(數(shù)學(xué))的歸納法，實(shí)際上是屬于完全嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理法。

最簡(jiǎn)單和常見(jiàn)的數(shù)學(xué)歸納法是證明當(dāng)n等于任意一個(gè)自然數(shù)時(shí)某命題成立。證明分下面兩步：

1. 證明當(dāng)n=0時(shí)命題成立。
2. 證明如果在n=m時(shí)命題成立，那么可以推導(dǎo)出在n=m+1時(shí)命題也成立。（m代表任意自然數(shù)）

這種方法的原理在于：首先證明在某個(gè)起點(diǎn)值時(shí)命題成立，然后證明從一個(gè)值到下一個(gè)值的過(guò)程有效。當(dāng)這兩點(diǎn)都已經(jīng)證明，那么任意值都可以通過(guò)反復(fù)使用這個(gè)方法推導(dǎo)出來(lái)。把這個(gè)方法想成多米諾效應(yīng)也許更容易理解一些。例如：你有一列很長(zhǎng)的直立著的多米諾骨牌，如果你可以：

1. 證明第一張骨牌會(huì)倒。
2. 證明只要任意一張骨牌倒了，那么與其相鄰的下一張骨牌也會(huì)倒。

那么便可以下結(jié)論：所有的骨牌都會(huì)倒。

用數(shù)學(xué)歸納法證題要恰當(dāng)運(yùn)用分析法，主要有如下三個(gè)步驟：

①歸納基礎(chǔ)：證n取第一個(gè)值時(shí)命題成立。

②證傳遞性：由成立證明時(shí)命題成立。

③得出結(jié)論：綜合，時(shí)命題成立。

在應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法常常需要采取一些變化來(lái)適應(yīng)實(shí)際的需求。下面介紹一些常見(jiàn)的數(shù)學(xué)歸納法變體。

數(shù)學(xué)歸納法的原理作為自然數(shù)公理,通常是被規(guī)定了的(參見(jiàn)皮亞諾公理).但是他可以用一些邏輯方法證明;比如,如果下面的公理:

自然數(shù)集是良序的。

注意到有些其他的公理確實(shí)的是數(shù)學(xué)歸納法原理中的二者擇一的公式化.更確切地說(shuō),兩個(gè)都是等價(jià)的.