或然率
1.什么是或然率
或然率即或然比,也叫概率和機(jī)會(huì)率:是對(duì)可能性在量上的一種科學(xué)說(shuō)明和測(cè)定。它是要測(cè)定的偶然事件的數(shù)目與全部可能發(fā)生的偶然事件的總數(shù)之間的比率。如果n是可能發(fā)生的偶然事件的總數(shù),而m是要測(cè)定的偶然事件的數(shù)目,那么,或然率就是m/n。m和n的比值在零和一之間,如果或然率等于零,就說(shuō)明沒(méi)有可能或不可能;如果或然率等于一,就說(shuō)明有百分之百的可能,這時(shí)的可能就完全成了必然。測(cè)定或然率是人們實(shí)踐的需要,目前在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中得到廣泛的應(yīng)用。
2.或然率的理論
或然率有下列兩種理論:
一、理論或然率(Theoretical Probability):即根據(jù)事件本性推理而得的或然率,又稱先天(Priori)或然率。例如:一枚硬幣有正反兩面,將其拋擲,其正面朝上之或然率,不待試驗(yàn)即可推知其為二分之一;又例如:若一摸彩箱中共有彩券三十張,其中有獎(jiǎng)之彩券共十張,則可推知其中獎(jiǎng)之或然率為三分之一。
二、經(jīng)驗(yàn)或然率(Empirical Probability):即根據(jù)實(shí)際現(xiàn)象歸納眾多次數(shù)而得之或然率。例如:將一枚硬幣拋擲一百次,若其出現(xiàn)正面朝上之次數(shù)為五十二次,即稱拋擲該枚硬幣出現(xiàn)正面朝上之或然率為52/100=0.52;又例如:若甲縣某年內(nèi)共出生嬰兒四千八百六十五人,其中男嬰為二千五百三十四人,則該縣男嬰出生之或然率即為2534/4865=0.52。此種或然率又稱后天的(Posteriori)或然率。
3.或然率的公理[1]
或然率具有三個(gè)基本公理:
公理1:P{A}≥0 P{A}代表事件A發(fā)生的或然率,這個(gè)公理表示一個(gè)事件發(fā)生的或然率必須大于0或等于0。如果一個(gè)事件A可能發(fā)生,那么它的或然率P{A}必然大于0,假使事件A不可能出現(xiàn),則它發(fā)生的或然率等干0。換句話說(shuō),任何一事件發(fā)生的或然率不可能是負(fù)值。
公理2:P{S}=1,S代表所有可能發(fā)生的全部事件,P{S}代表它們發(fā)生的或然率。這個(gè)公理表示在所有可能發(fā)生的各個(gè)事件中,必然有一個(gè)事件發(fā)生的或然率等于1。例如一個(gè)硬幣只有正,反兩面,投擲的結(jié)果不是正面就是反面,所有可能發(fā)生的事件共有二個(gè),一個(gè)是出現(xiàn)正面,一個(gè)是出現(xiàn)反面。用S代表所有可能發(fā)生的事件的全體,那么用A表示正面,用表示反面,這樣S與A、三者的關(guān)系可以表示為(U這個(gè)符號(hào)讀作“并”,意思指“或者”即A或至少有一個(gè)發(fā)生。在這里的作用與加法符號(hào)相同)。這樣投擲一枚硬幣出現(xiàn)正面與反面的或然率就可以寫作
假設(shè)這樣一些事件不能并存,互相排斥,就可以用表示事件同時(shí)發(fā)生不存在,也就是等事件同時(shí)出現(xiàn)是不可能的。(這個(gè)符號(hào)讀作“交”表示“乘積”指A1和A2和A3等事件同時(shí)發(fā)生)。由此可得:
公理3:
公理3表示這些事件中任一事件都不能與其它事件同時(shí)并存,則A1、A2、A3事件發(fā)生的或然率等于各個(gè)事件發(fā)生或然率之和。
例如;在一個(gè)袋中有各色的小球10個(gè),僅知道其中有紅球A1一個(gè),白球A2二個(gè),蘭球A3三個(gè),這三個(gè)事件是互相排斥,也就是說(shuō)是白球就不可能是紅球,是紅球就不可能是蘭球。如果從袋中抽取一個(gè)球,問(wèn)這個(gè)球是紅、白、蘭三色中任何一色時(shí)的或然率為多少?根據(jù)公理3得