大數(shù)定律

1.什么是大數(shù)定律

大數(shù)定律是指在隨機試驗中，每次出現(xiàn)的結果不同，但是大量重復試驗出現(xiàn)的結果的平均值卻幾乎總是接近于某個確定的值。

其原因是，在大量的觀察試驗中，個別的、偶然的因素影響而產(chǎn)生的差異將會相互抵消，從而使現(xiàn)象的必然規(guī)律性顯示出來。例如，觀察個別或少數(shù)家庭的嬰兒出生情況，發(fā)現(xiàn)有的生男，有的生女，沒有一定的規(guī)律性，但是通過大量的觀察就會發(fā)現(xiàn)，男嬰和女嬰占嬰兒總數(shù)的比重均會趨于50%。

2.大數(shù)定律的表現(xiàn)形式

　　定義1：設 $varepsilon_n(n=1,2,cdots)$ 為概率空間(Ω,F,P)上定義的隨機變量序列(簡稱隨機序列)，若存在隨機變數(shù) $varepsilon$ ，使對任意 $varepsilon>0$ ，恒有：

$lim_{ntoinfty}p{|varepsilon_n-varepsilon|gevarepsilon}=0$
$lim_{ntoinfty}p{|varepsilon_n-varepsilon|levarepsilon}=1$

　　則稱隨機序列 ${varepsilon_n}$ 依概率收斂于隨機變量 $varepsilon$ ( $varepsilon$ 也可以是一個常數(shù))，并用下面的符號表示：

　　 $lim_{ntoinfty}varepsilon_n=varepsilon(p)$ 或 $varepsilon_noverrightarrow{p}varepsilon$

　　定義2：設 ${varepsilon_n}$ 為一隨機序列，數(shù)學期望 $E(varepsilon_n)$ )存在，令 $bar{varepsilon_n}= frac{1}{n}sum_{i=1}^n varepsilon_i$ ，若 $lim_{ntoinfty}[bar{varepsilon_n}-E(bar{varepsilon_n})]=$ 0(P)，則稱隨機序列 ${varepsilon_n}$ 服從大數(shù)定律，或者說大數(shù)法則成立。

　　定義3：設F_n(x)是分布函數(shù)序列，若存在一個非降函數(shù)F(x)，對于它的每一連續(xù)點x，都有 $lim_{ntoinfty}F_n(x)=F(x),F_n(x)overrightarrow{w}F(x)$ ，則稱分布函數(shù)序列F_n(x)弱收斂于F(x)。

　　定義4：設 $F_n(x)(n=1,2,3,cdots),F(x)$ 分別是隨機變量 $varepsilon_n(n=1,2,3,cdots)$ 及 $varepsilon$ 的分布函數(shù)，若 $F_n(x)overrightarrow{w}F(x)$ ，則稱 ${varepsilon_n}$ 依分布收斂于 $varepsilon$ ，亦記為 $varepsilon_noverrightarrow{L}varepsilon$ ，且有：(1)若 $varepsilon_noverrightarrow{P}varepsilon$ ，則 $varepsilon_noverrightarrow{L}varepsilon$ ；(2)設c為常數(shù)，則 $varepsilon_noverrightarrow{P}c$ 的充要條件是 $varepsilon_noverrightarrow{L}c$ 。