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大數(shù)定律

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1.什么是大數(shù)定律

大數(shù)定律是指在隨機(jī)試驗(yàn)中，每次出現(xiàn)的結(jié)果不同，但是大量重復(fù)試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果的平均值卻幾乎總是接近于某個(gè)確定的值。

其原因是，在大量的觀察試驗(yàn)中，個(gè)別的、偶然的因素影響而產(chǎn)生的差異將會(huì)相互抵消，從而使現(xiàn)象的必然規(guī)律性顯示出來。例如，觀察個(gè)別或少數(shù)家庭的嬰兒出生情況，發(fā)現(xiàn)有的生男，有的生女，沒有一定的規(guī)律性，但是通過大量的觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，男嬰和女嬰占嬰兒總數(shù)的比重均會(huì)趨于50%。

2.大數(shù)定律的表現(xiàn)形式

　　定義1：設(shè)varepsilon_n(n=1,2,cdots)為概率空間(Ω,F,P)上定義的隨機(jī)變量序列(簡(jiǎn)稱隨機(jī)序列)，若存在隨機(jī)變數(shù)varepsilon，使對(duì)任意varepsilon>0，恒有：

  • lim_{ntoinfty}p{|varepsilon_n-varepsilon|gevarepsilon}=0

  • lim_{ntoinfty}p{|varepsilon_n-varepsilon|levarepsilon}=1

　　則稱隨機(jī)序列{varepsilon_n}依概率收斂于隨機(jī)變量varepsilon(varepsilon也可以是一個(gè)常數(shù))，并用下面的符號(hào)表示：

　　lim_{ntoinfty}varepsilon_n=varepsilon(p)或varepsilon_noverrightarrow{p}varepsilon

　　定義2：設(shè){varepsilon_n}為一隨機(jī)序列，數(shù)學(xué)期望E(varepsilon_n))存在，令bar{varepsilon_n}= frac{1}{n}sum_{i=1}^n varepsilon_i，若lim_{ntoinfty}[bar{varepsilon_n}-E(bar{varepsilon_n})]=0(P)，則稱隨機(jī)序列{varepsilon_n}服從大數(shù)定律，或者說大數(shù)法則成立。

　　定義3：設(shè)Fn(x)是分布函數(shù)序列，若存在一個(gè)非降函數(shù)F(x)，對(duì)于它的每一連續(xù)點(diǎn)x，都有lim_{ntoinfty}F_n(x)=F(x),F_n(x)overrightarrow{w}F(x)，則稱分布函數(shù)序列Fn(x)弱收斂于F(x)。

　　定義4：設(shè)F_n(x)(n=1,2,3,cdots),F(x)分別是隨機(jī)變量varepsilon_n(n=1,2,3,cdots)及varepsilon的分布函數(shù)，若F_n(x)overrightarrow{w}F(x)，則稱{varepsilon_n}依分布收斂于varepsilon，亦記為varepsilon_noverrightarrow{L}varepsilon，且有：(1)若varepsilon_noverrightarrow{P}varepsilon，則varepsilon_noverrightarrow{L}varepsilon；(2)設(shè)c為常數(shù)，則 varepsilon_noverrightarrow{P}c的充要條件是varepsilon_noverrightarrow{L}c。

　　逆極限定理：設(shè)特征函數(shù)列fn(t)收斂于某一函數(shù)f(t)，且f(t)在t=0時(shí)連續(xù)，則相應(yīng)的分布函數(shù)列Fn(x)弱收斂于某一分布函數(shù)F(x)，而且f(t)是F(x)的特征函數(shù)。

　　大數(shù)定律有若干個(gè)表現(xiàn)形式。這里僅介紹其中常用的兩個(gè)重要定律：

　?。ㄒ唬┣胸愌┓虼髷?shù)定理

　　設(shè)x_1,x_2cdots是一列兩兩相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，服從同一分布，且存在有限的數(shù)學(xué)期望a和方差σ2，則對(duì)任意小的正數(shù)ε，有：

　　lim_{ntoinfty}P(|frac{sum x_i}{n}-a<varepsilon|)=1

　　該定律的含義是：當(dāng)n很大，服從同一分布的隨機(jī)變量x_1,x_2cdots,x_n的算術(shù)平均數(shù)frac{sum x_i}{n}將依概率接近于這些隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。

　　將該定律應(yīng)用于抽樣調(diào)查，就會(huì)有如下結(jié)論：隨著樣本容量n的增加，樣本平均數(shù)將接近于總體平均數(shù)。從而為統(tǒng)計(jì)推斷中依據(jù)樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)提供了理論依據(jù)。

　?。ǘ┴惻锎髷?shù)定律

　　設(shè)μn是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，且事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為P，則對(duì)任意正數(shù)ε，有：

　　lim_{ntoinfty}P(|frac{mu_n}{n}-p<varepsilon|)=1

　　該定律是切貝雪夫大數(shù)定律的特例，其含義是，當(dāng)n足夠大時(shí)，事件A出現(xiàn)的頻率將幾乎接近于其發(fā)生的概率，即頻率的穩(wěn)定性。

　　在抽樣調(diào)查中，用樣本成數(shù)去估計(jì)總體成數(shù)，其理論依據(jù)即在于此。

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