多目標(biāo)規(guī)劃法

1.多目標(biāo)規(guī)劃法概述

多目標(biāo)規(guī)劃法也是運(yùn)籌學(xué)中的一個重要分支，它是在線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上，為解決多目標(biāo)決策問題而發(fā)展起來的一種科學(xué)管理的數(shù)學(xué)方法

多目標(biāo)規(guī)劃的概念是 1961年由美國數(shù)學(xué)家查爾斯和庫柏首先提出的。

多目標(biāo)規(guī)劃是指標(biāo)準(zhǔn)型為：

minZ=CY

s.t AX+Y— $Y + = b$

X，Y， $Y - Y +$ 1?0

的規(guī)劃問題。這里 C、Y、A、X、Y-、 $Y +$ 、b均為矩陣或向量的形式。

2.多目標(biāo)規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)

　　與線性規(guī)劃相比，多目標(biāo)規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)在于：

　　1、偏差列向量 Y^?、Y⁺。Y^?、Y⁺分別為負(fù)、正偏差列向量，各有 m個元素 Y^?、y⁺?！?img class="tex" src="/uploads/2016/02/72031455765449.png" alt="Y^-_m" style="margin: 0px; border: 0px solid rgb(51, 51, 51); vertical-align: middle;"/>與 $y^+_1$ $,y^+_2$ ，…， $y^+_m$ （m是約束方程的個數(shù)）。負(fù)偏差變量的經(jīng)濟(jì)含義為當(dāng)實(shí)際值小于目標(biāo)值時，實(shí)際值與目標(biāo)值的偏差為負(fù)偏差，正偏差變量的經(jīng)濟(jì)含義與之恰恰相反。

　　2、價值系數(shù)行向量c。c的元素最多不超過 2m個，由目標(biāo)優(yōu)先權(quán)等級 Pi和目標(biāo)優(yōu)先權(quán)系數(shù)η組成，即 c = (c₁,c₂…，c_2m）=（ $eta_1 P_1,eta_2 P_2,ldots,eta_{2m}P_{2m}$ ），在多目標(biāo)規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)中，出現(xiàn)的變量只能是偏差變量。也就是說，列向量 y以正偏差變量和負(fù)偏差變量為元素。目標(biāo)優(yōu)先權(quán)等級 Pi既不是變量，也不是常數(shù)，它只是說明不同目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的先后順序，這種優(yōu)先等級的確定一般是由企業(yè)決策部門根據(jù)企業(yè)具體情況及各目標(biāo)的輕重緩急加以確定的。而目標(biāo)優(yōu)先級系數(shù)，則說明同一優(yōu)先級目標(biāo)相互之間的比例關(guān)系。

3.多目標(biāo)規(guī)劃法的基本解法

　　多目標(biāo)規(guī)劃的解法主要有單純形法和圖解法。圖解法一般只適用于兩個決策變量的情形。單純形法對于求解多目標(biāo)規(guī)劃有普遍意義。

　　多目標(biāo)規(guī)劃單純形表的結(jié)構(gòu)如表1。

　　表中 V_j———變量，X1，X2，…，Xn是決策變量，其余 n-n'個是偏差變量；

　　C_j———價值系數(shù)，因多目標(biāo)規(guī)劃目標(biāo)函數(shù)不包含決策變量，所以 $c_1=c_2=ldots=cn'=0$ ；

　　b_i———目標(biāo)約束常數(shù)；

　　θ_i———θ判據(jù)；

　　BV_i———基變量名；

　　C_BVi———基變量價值系數(shù)；

　　a_ij———作業(yè)系數(shù)；

　　Q_ij———單純形判據(jù)矩陣元素；

　　P_j———目標(biāo)優(yōu)先權(quán)排序；

　　Z_j———第 j個優(yōu)先級目標(biāo)的目標(biāo)函數(shù)值。

　　表1與線性規(guī)劃單純形表相比，最大的不同是單純形判據(jù)是一個 N×n矩陣，而不是列向量，且有 $Q_{ij}=sum^m_{i=1}CB_{viaij}-C_j$ 。

　　目標(biāo)優(yōu)先權(quán)排序 P₁,P₂，…，P_N給出了單純形迭代過程中實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的順序。在實(shí)現(xiàn)某一優(yōu)先級目標(biāo)后，應(yīng)依順序考慮一個優(yōu)先級能否實(shí)現(xiàn)。但是，不能為實(shí)現(xiàn)較低目標(biāo)而使較高級目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)受到影響。

4.多目標(biāo)規(guī)劃的主要應(yīng)用領(lǐng)域

多目標(biāo)規(guī)劃的概念是 1961年由美國數(shù)學(xué)家查爾斯和庫柏首先提出的。至今有些理論問題尚在探討之中，應(yīng)用范圍還不如線性規(guī)劃廣泛。在資源分配、計(jì)劃編制、生產(chǎn)調(diào)度等方面有一定的’應(yīng)用。但是，作為一種決策方法，多目標(biāo)規(guī)劃的應(yīng)用前景還是很樂觀的。企業(yè)決策者掌握和運(yùn)用這種方法將有助于提高管理和決策水平。

5.多目標(biāo)規(guī)劃的案例分析

案例一：紡織廠的多目標(biāo)規(guī)劃

　　某紡織廠生產(chǎn)窗簾布和衣料兩種布料，該廠對這兩種布料的生產(chǎn)能力均是 1000m/h，工廠正常生產(chǎn)能力每周 80h，根據(jù)市場預(yù)測，下周最大銷售量窗簾布70000m、衣料45000m，窗簾布每米獲利 2.50元，衣料每料獲利 1.50元。該廠定出的經(jīng)營目標(biāo)是：

　　P₁：保證生產(chǎn)均衡穩(wěn)定，避免開工不足；

　　P₂：每周加班時間不超過10h；

　　P₃：努力實(shí)現(xiàn)最大銷售量；

　　P₄：盡可能減少加班時間。

　　本案例多目標(biāo)規(guī)劃模型的決策變量為；x₁———周內(nèi)窗簾布生產(chǎn)的小時數(shù)；x₂———周內(nèi)衣料生產(chǎn)的小時數(shù)。

　　每周正常生產(chǎn)能力約束：

　　 $x_1+x_2+y^1_{-}-y^1_+=80$

　　式中 $y_1^-$ 和 $y_1^+$ 分別表示每周開工低于正常生產(chǎn)能力的負(fù)偏差及超出正常生產(chǎn)能力的正偏差。

　　銷售目標(biāo)約束：

　　x₁ + y₂ ? = 70000 / 1000 = 70

　　x₂ + y₃ ? = 45000 / 1000 = 45

　　因產(chǎn)量不能超過最大銷售量，所以 $y^+_2=y^+_3=0$

　　加班時間限制目標(biāo)約束：

　　 $y^+_1+y^-_4-y^+_4=10$

　　式中 $y^+_1$ 取自每周正常生產(chǎn)能力約束的正偏差，即加班小時數(shù)， $y^-_4$ 與 $y^+_4$ 分別表示加班時間不足 10h的負(fù)偏差和超過10h的正偏差。

案例二：用多目標(biāo)規(guī)劃法優(yōu)化企業(yè)資本結(jié)構(gòu)^[1]

　　多目標(biāo)規(guī)劃法是運(yùn)籌學(xué)中的數(shù)學(xué)規(guī)劃方法之一。

　　它是在運(yùn)籌學(xué)基本的數(shù)學(xué)規(guī)劃方法——線性規(guī)劃法的基礎(chǔ)上，為了克服線性規(guī)劃方法目標(biāo)函數(shù)單一、約束條件苛刻、無法解決矛盾條件下的規(guī)劃問題等缺點(diǎn)而發(fā)展起來的規(guī)劃方法，使用這種模型能夠解決多種目標(biāo)同時存在的規(guī)劃問題。它以求解實(shí)際結(jié)果與目標(biāo)或資源限制之間的偏差變量最小作為目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造的出發(fā)點(diǎn)，解決企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營中的各種目標(biāo)的平衡問題，而被較為廣泛地應(yīng)用。把目標(biāo)規(guī)劃方法引入資本結(jié)構(gòu)的決策之中，力圖使該決策在考慮企業(yè)多個影響因素的條件下進(jìn)行，也使得決策結(jié)果更符合客觀實(shí)際。

　　1.資本結(jié)構(gòu)的多目標(biāo)規(guī)劃模型

　　多目標(biāo)規(guī)劃法的基本數(shù)學(xué)模型為：

　　目標(biāo)函數(shù)：

　　 $MIN Z=sum^lambda_{k=1}p_ktimes sum^h_{i=1}(w_{ki}d^-_i+w_{ki}d^+_i)$

　　約束條件：

　　 $sum^n_{j=1}C_{ij}times X_j+d^-_i-d^+_i=g_i(i=1,2,cdots,h)$

　　 $sum^n_{j=1}a_{ij}times X_jle b_t(b=h+1,h+2,cdots,m)$

　　或 $sum^n_{j=1}a_{ij}times X_jge b_t(b=h+1,h+2,cdots,m)$

　　 $X_jge 0(j=1,2,cdots,h)$

　　 $d^-_j,d^+_jge 0,d^-_i,d^+_i=0(i=1,2,cdots,h)$

　　式中：X_j——決策變量； $d^-_j$ 、 $d^+_j$ ——正負(fù)偏差變量；C_ij——第i項(xiàng)目約束條件中X_j的系數(shù)；a_ij——第t項(xiàng)資源約束條件中X_j的系數(shù)；一般為各項(xiàng)資源的單位消耗定額；g_i——第i項(xiàng)目標(biāo)的既定值；b_t——第t項(xiàng)資源約束條件的限制值；P_k——目標(biāo)的優(yōu)先級別； $w_{ki}d^-_i$ 、 $w_{ki}d^+_i$ ——第k級優(yōu)先級目標(biāo)中 $d^{-}_i$ 、 $d^{+}_i$ 的加權(quán)系數(shù)。

　　由于企業(yè)資本結(jié)構(gòu)包括資本中的項(xiàng)目構(gòu)成和各種比例構(gòu)成，因此，可以將企業(yè)的資產(chǎn)負(fù)債率和權(quán)益與資產(chǎn)總額的比率設(shè)為模型中的兩個基本變量v_j、v_z。再根據(jù)涉及企業(yè)資本結(jié)構(gòu)的各項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行各約束條件的設(shè)置。

　　2.資本結(jié)構(gòu)的多目標(biāo)規(guī)劃模型的約束條件設(shè)置

　　企業(yè)的經(jīng)營是在一個非常復(fù)雜的大系統(tǒng)中進(jìn)行的，許多不確定性因素干擾著企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益。但是，從影響資本結(jié)構(gòu)決策的角度看，則主要有資金成本、自有資金收益率、企業(yè)資本保值增值率、經(jīng)營風(fēng)險、獲利能力等因素的影響，因此，其約束環(huán)境設(shè)置時也主要應(yīng)考慮以下幾個方面：

　　1)企業(yè)預(yù)期的資本構(gòu)成

　　按照企業(yè)資本構(gòu)成的基本公式：資產(chǎn)=負(fù)債+所有者權(quán)益，設(shè)置出運(yùn)算的負(fù)債總額與自資本總額之和等于企業(yè)預(yù)期的資產(chǎn)總額的約束。為便于運(yùn)算，又將其設(shè)置為資產(chǎn)負(fù)債率和權(quán)益與資產(chǎn)總額的比率之和等于1。

　　2)資金成本與自有資金收益率之間相互消長的關(guān)系

　　根據(jù)財(cái)務(wù)杠桿原理，自有資金收益率的大小取決于企業(yè)的投資收益率，也取決于資金成本的大小。因此，模型中可設(shè)置出在一定的資金成本前提下的自有資金收益率，并使其大于或等于某一期望值的約束條件。

　　3)考慮資本結(jié)構(gòu)給企業(yè)經(jīng)營帶來的風(fēng)險因素

　　一般認(rèn)為，企業(yè)的期望收益越大則風(fēng)險越大。模型中此項(xiàng)約束方程的設(shè)置應(yīng)視不同行業(yè)的企業(yè)設(shè)置風(fēng)險界限，將風(fēng)險控制在一定的范圍之內(nèi)。

　　4)合理的資本結(jié)構(gòu)應(yīng)使資本的保值增值率大于或等于一定的標(biāo)準(zhǔn)

　　為保護(hù)所有者的利益，財(cái)務(wù)制度規(guī)定企業(yè)的資本必須按一定的比率保值增值，在進(jìn)行資本結(jié)構(gòu)決策時，應(yīng)結(jié)合盈利水平考慮此因素并以一定的下限設(shè)置約束。

　　5)企業(yè)的獲利能力盡可能達(dá)到行業(yè)的水平

　　企業(yè)的獲利能力有許多的表示方法，已獲息倍數(shù)是其中一個重要的指標(biāo)，它從盈利與利息之間倍數(shù)關(guān)系的一定角度上反映了企業(yè)的盈利水平。因此，可以某一定值作下限設(shè)置出一個約束條件。

　　根據(jù)這些約束條件，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，上機(jī)求解，即可求出最佳的負(fù)債額和資產(chǎn)負(fù)債率。

　　3.模型應(yīng)用

　　某企業(yè)的市場環(huán)境不好，經(jīng)營狀況也不好，總資產(chǎn)報酬率僅為2.08%，平均負(fù)債利息率為3.6%。企業(yè)現(xiàn)有資產(chǎn)總額為8696.3萬元，本期期望收益額為78萬元。在此前提下，用多目標(biāo)規(guī)劃法確定該企業(yè)合理的資本結(jié)構(gòu)。

　　1）約束條件設(shè)置

　　第1級目標(biāo)：

　　根據(jù)資產(chǎn)的結(jié)構(gòu)，設(shè)資產(chǎn)負(fù)債率v_j和權(quán)益與資產(chǎn)總額的比率v_z之和等于1。

　　即： $v_j+v_z+d^-_i-d^+_i=1$ ;

　　第2級目標(biāo)：

　　在現(xiàn)有的經(jīng)營狀態(tài)下，若企業(yè)能保持78萬元的盈利，則企業(yè)的凈資產(chǎn)收益率r不小于0.77%。

　　即 Image:公式圖.jpg

　　式中：e為總資產(chǎn)報酬率

　　整理得： $0.016times v_j+d^-_2-d^+_2=0.0058$ ；

　　第3級目標(biāo)：

　　根據(jù)企業(yè)的盈利能力及經(jīng)營條件。

　　企業(yè)實(shí)現(xiàn)總資產(chǎn)期望報酬率過程中的風(fēng)險不大于0.1,用標(biāo)準(zhǔn)差F(e)來表示風(fēng)險。

　　 $F(e)=left[sum^n_{t=1}(e_i-e^t)^2times P_i right]^{frac{1}{2}}$

　　根據(jù)自有資金收益率與總資產(chǎn)報酬率之間的關(guān)系，推導(dǎo)出實(shí)現(xiàn)自資金收益率r與風(fēng)險的關(guān)系式，并根據(jù)實(shí)際情況令其不大于10%。

　　 Image:公式2圖.jpg

　　整理得： $0.1times v_j+d^-_3-d^+_3=0.099$ ；

　　第4級目標(biāo)：

　　根據(jù)財(cái)務(wù)制度的規(guī)定，令資本保值增值率大于105%

　　因?yàn)椋?img class="tex" src="http://wiki.mbalib.com/w/images/math/7/e/0/7e0b499c939c86a4e825218c62ca6428.png" alt="left[Ktimes v_z+Mtimes(1-d)right]div K times v_z times 100%>105%" style="margin: 0px; border: 0px solid rgb(51, 51, 51); vertical-align: middle;"/>

　　即： $left[Ktimes v_z+Mtimes(1-d)iright]div K times(1-v_j)times 100%>105%$

　　整理得： $9131.85times v_j+8696.3times v_z+d^-_4-d^+_4=9053.85$

　　式中：K——企業(yè)資產(chǎn)總額；M——企業(yè)計(jì)劃期的期望收益額。

　　第5級目標(biāo)：

　　企業(yè)的已獲息倍數(shù)不小于幾年行業(yè)的平均水平1.4

　　因?yàn)椋?img class="tex" src="http://wiki.mbalib.com/w/images/math/0/1/7/017a057d52d848ca60c0c378232cac60.png" alt="(ktimes e times I)div I=1.4" style="margin: 0px; border: 0px solid rgb(51, 51, 51); vertical-align: middle;"/>

　　整理得： $125.2times v_j+d^-_5-d^+_5=78$

　　2）構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)根據(jù)各約束方程中主要指標(biāo)的性質(zhì)，構(gòu)建出最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)的目標(biāo)函數(shù)模型為：。

　　 $MIN Z=d^+_1+d^-_1+d^-_2+d^-_3+d^-_4+d^-_5$

　　3）上機(jī)運(yùn)算，得到如下結(jié)果。

　　v_j = 0.58904 = 59.04%

　　v_z = 0.4096 = 40.96%

　　 $d^-_1=d^+_1=d^-_2=d^-_4=d^-_5=0$ ;

　　 $d^+_2=0.00395$

　　 $d^-_3=0.04036$

　　 $d^+_3=0.0623$

　　 $d^+_4=d^+_5=0$

　　4.結(jié)論

　　該企業(yè)在考慮各種條件后的資產(chǎn)負(fù)債率v_j應(yīng)為59.04%，所有者權(quán)益與資產(chǎn)的比率v_z應(yīng)為40.96%。即59%負(fù)債和41%所有者權(quán)益構(gòu)成企業(yè)合理的資本結(jié)構(gòu)。

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多目標(biāo)規(guī)劃法

目錄

1.多目標(biāo)規(guī)劃法概述

2.多目標(biāo)規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)

3.多目標(biāo)規(guī)劃法的基本解法

4.多目標(biāo)規(guī)劃的主要應(yīng)用領(lǐng)域

5.多目標(biāo)規(guī)劃的案例分析

案例一：紡織廠的多目標(biāo)規(guī)劃

案例二：用多目標(biāo)規(guī)劃法優(yōu)化企業(yè)資本結(jié)構(gòu)^[1]

多目標(biāo)規(guī)劃法

目錄

1.多目標(biāo)規(guī)劃法概述

2.多目標(biāo)規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)

3.多目標(biāo)規(guī)劃法的基本解法

4.多目標(biāo)規(guī)劃的主要應(yīng)用領(lǐng)域

5.多目標(biāo)規(guī)劃的案例分析

案例一：紡織廠的多目標(biāo)規(guī)劃

案例二：用多目標(biāo)規(guī)劃法優(yōu)化企業(yè)資本結(jié)構(gòu)[1]

案例二：用多目標(biāo)規(guī)劃法優(yōu)化企業(yè)資本結(jié)構(gòu)^[1]