幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng)就是成倍數(shù)增長(zhǎng)。類似與通常說的“翻番”——2、4、8、16、32、64、128等等，或者3、9、27、81等等。在幾何上，面積與邊長(zhǎng)的關(guān)系是乘積的函數(shù)關(guān)系。因此也將成倍增長(zhǎng)稱為“幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng)”。

案例一：種群的幾何級(jí)數(shù)增長(zhǎng)^[1]

　　在具體討論現(xiàn)實(shí)的種群在有限的環(huán)境中增長(zhǎng)過程以前，首先介紹一個(gè)理想的種群在無限的環(huán)境中增長(zhǎng)的模型。假定有一種一年只有一個(gè)繁殖季、壽命只有一年的動(dòng)物，那么其世代是不重疊的。例如，棲居于草原季節(jié)性小水坑中的水生昆蟲，每年雌蟲產(chǎn)一次卵，卵孵化長(zhǎng)成幼蟲，蛹在泥中度過干旱季節(jié)。到第二年，蛹才變?yōu)槌上x，交配、產(chǎn)卵。因此，世代是不重疊的，種群增長(zhǎng)是不連續(xù)的。假定這些水坑是彼此隔離的，即種群沒有遷入和遷出。

　　1．模型的假設(shè)和概念結(jié)構(gòu)

　　在這個(gè)最簡(jiǎn)單的單種種群增長(zhǎng)模型的概念結(jié)構(gòu)里，包含有下列四個(gè)假設(shè)：①種群增長(zhǎng)是無界的，即設(shè)種群在無限的環(huán)境中增長(zhǎng)，沒有受資源、空間等條件的限制；②世代不相重疊。增長(zhǎng)是不連續(xù)的，或稱離散的；③種群沒有遷入和遷出；④沒有年齡結(jié)構(gòu)。

　　2．?dāng)?shù)學(xué)模型

　　最簡(jiǎn)單的單種種群增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型通常是把世代t+1的種群N_{t + 1}與世代t的種群N_t聯(lián)系起來的差分方程：N_{t + 1} = λN_t　　或N_t = N₀λ'

　　式中：N為種群大小，t為時(shí)間，λ為種群的周限增長(zhǎng)率。

　　3．模型的生物學(xué)含義

　　下面我們對(duì)這個(gè)模型的生物學(xué)含義作進(jìn)一步解釋。

　　假定一年生生物(即世代間隔為一年)的種群在一個(gè)繁殖季節(jié)t₀開始，有N₀個(gè)雌體和等量的雄體(這樣就能簡(jiǎn)單地以雌體產(chǎn)生雌體來代表種群增長(zhǎng))，其產(chǎn)卵量為B，總死亡為D。那么到下一年t₁，其種群數(shù)量N₁為N₁ = N₀ + B ? D　　例如，開始時(shí)有10個(gè)雌體，到第二年成為200個(gè)，那就是說，N₀ = 10，N₁ = 200，即一年增長(zhǎng)20倍?，F(xiàn)以λ代表種群兩個(gè)世代的比率：λ = N₁ / N₀ = 20

　　如果種群在無限環(huán)境下以這個(gè)速率年復(fù)一年地增長(zhǎng)，即

　　N₀ = 10

　　……

　　N_{t + 1} = N_tλ或N_t = N₀λ'

　　λ在此是表示種群以每年(或其他時(shí)間單位)為前1年20倍的速率而增長(zhǎng)的增長(zhǎng)率，稱為周限增長(zhǎng)率。這種增長(zhǎng)形式稱為幾何級(jí)數(shù)式增長(zhǎng)或指數(shù)式增長(zhǎng)。

　　將方程式N_t = N₀λ'兩側(cè)取對(duì)數(shù)，即lgN_t = lgN₀ + (lgλ)t

　　它具有直線方程式y(tǒng)=a+bx的形式。因此，以lgN_t與t作圖，就能得到一條直線，其中l(wèi)gN₀是直線的截距，lgλ是直線的斜率。

　　4．模型的參數(shù)λ

　　周限增長(zhǎng)率λ是種群增長(zhǎng)模型中有用的量，如果λ = N_{t + 1} / N_t = 1，表示種群數(shù)量在t時(shí)和t+1時(shí)相等，種群穩(wěn)定。從理論上講，λ可以有下面四種情況，它在種群增長(zhǎng)中的含義是：

　　λ>1，種群上升；

　　λ=1，種群穩(wěn)定；

　　0<λ<1，種群下降；

　　λ=0，雌體沒有繁殖，種群在一代中滅亡。